Matrice unipotente

Hello,

fastoche, y a aucun rapport! :-D

$M=\begin{pmatrix}1 & 1 \cr 0 & 1\end{pmatrix}$ vérifie $(M-I_2)^2=0$, mais n'a aucune puissance non nulle égale à $I_2$

$M=-I_2$ vérifie $M^2=I_2$, mais $M-I_2$ n'a aucune puissance nulle.

Amicalement,

Mel.

Il n'y a pas besoin de polynôme caractéristique. Dire que $M$ est unipotente-au-sens-de-RM, c'est dire qu'il existe $k$ tel que $M^k=\mathrm{I}_n$, d'accord. Or, si $P=X^k-1$ est un polynôme, alors $P(M)=M^k-\mathrm{I}_n$ par définition. Dire que $M$ annule $P$, c'est exactement dire que $P(M)=0$ (ce $0$ est la matrice nulle).

Si $\omega_j$ ($0\le j\le k-1$) sont les racines $k$-ièmes de l'unité, on a $P(X)=\prod_{j=0}^{n-1}(X-\omega_j)$. Les polynômes $P_j=X-\omega_j$ sont deux à deux premiers entre eux. Par le lemme des noyaux, le noyau de $P(M)$, qui est $\C^n$ entier, est la somme directe des noyaux des $P_j(M)$, c'est-à-dire des espaces propres associés aux valeurs propres $\omega_j$. En d'autres termes, $M$ est diagonalisable.

Le truc à peu près évident qui doit t'échapper, c'est que dès que l'on a un polynôme annulateur $P$ d'une matrice $M$, on peut affirmer que toute valeur propre de $M$ est une racine de $P$. En effet, si $\lambda$ est une valeur propre de $M$ et si $V$ est un vecteur propre associé, alors $0=P(M)V=P(\lambda)V\in\C^n$ et, comme $V\ne0$, $P(\lambda)=0$. En fait, le polynôme caractéristique, on s'en fiche dans ce cas très précis. (Si tu insistes, on peut dire que c'est un multiple d'un diviseur de $X^k-1$ et on ne peut rien dire de plus.)

Une fois qu'on a démontré que $\C^n=\bigoplus_{j=0}^{k-1}\ker(M-\omega_j\mathrm{I}_n)$, on a fini, n'est-ce pas ? En effet, en réunissant des bases de ces sous-espaces, on obtient une base de l'espace entier formée de vecteurs propres. Note que certains de ces sous-espaces sont peut-être réduits à $\{0\}$, auquel cas la base correspondante est (la famille) vide.

Edit : Rectification des indices dans la dernière décomposition.