Cohomologies de groupes et de de Rham

Bonjour,
Je ne sais pas trop si c'est le bon endroit pour mettre ça vu que ça parle de géométrie différentielle; mais comme je suis plus intéressé par l'aspect cohomologie de groupes, je le mets ici. J'ai vu cet exemple et je pense que le comprendre à fond m'aiderait à plus motiver la cohomologie de groupes. Je vais raconter un peu la situation, dire ce que je comprends, et ce que je ne comprends pas, que j'aimerais comprendre; en espérant que des intervenant.e.s sauront m'expliquer un peu ce qui se passe, m'éclairer; ou au moins me donner des références (j'imagine qu'il n'y aura pas de réponse en une ligne, donc des références pour approfondir ça me va très bien) qui me permettront de mieux voir !

On part d'une variété différentielle (il y a peut-être moyen de faire plus général que ça mais je m'en tiens à ça pour l'instant) $M$ sur laquelle agit un groupe $G$; dans le meilleur des mondes je dirais $G$ un groupe de Lie quelconque agissant $C^\infty$-ment, mais à nouveau pour me simplifier la vie je vais demander que ce soit un groupe discret agissant par $C^\infty$-difféomorphismes sur $M$, de manière proprement discontinue et libre; de sorte que $M/G$ soit une gentille variété.

Dans ce cas, il est connu que pour tout $k\geq 0$, l'image de $p^* : \Omega^k(M/G)\to \Omega^k(M)$ est précisément $(\Omega^k(M))^G$, où je note $p:M\to M/G$ la projection, et $\Omega^k$ le module des $k$-formes différentielles. Comme on a un "module des $G$-invariants" qui apparaît, on sent que de la cohomologie de groupes va apparaître. C'est ce "on sent" que j'aimerais clarifier.
Je note $H^k$ la cohomologie de groupe, à ne pas confondre avec $H^k_{\mathrm{dR}}$, la cohomologie de de Rham.

En effet, de ce que je comprends on en déduit une suite exacte longue de cohomologie $0\to \Omega^k(M/G)\to (\Omega^k(M))^G \to (\Omega^k(M)/\Omega^k(M/G))^G\to H^1(G,\Omega^k(M/G))\to H^1(G,\Omega^k(M))\to \dots$

Bon c'est bien beau tout ça, on a fait apparaître la cohomologie de groupes, or on sait en plus que la première flèche est un isomorphisme donc notre suite exacte se réduit en réalité à $0\to (\Omega^k(M)/\Omega^k(M/G))^G\to H^1(G,\Omega^k(M/G))\to H^1(G,\Omega^k(M))\to \dots$

Question 1 : Est-ce que ça nous apporte quelque chose ? Est-ce que $(\Omega^k(M)/\Omega^k(M/G))^G$ ou même $\Omega^k(M)/\Omega^k(M/G)$ a une interprétation intéressante ?

Bon ensuite moi mon vrai but (je ne le révèle que maintenant) c'est de voir ce que la cohomologie de $G$ a à nous apporter sur les liens entre la cohomologie de de Rham de $M$ et de $M/G$; mais pour le moment je n'ai que des modules de formes différentielles, donc la cohomologie de de Rham est encore loin. Pour la voir arriver il faudrait "dériver" dans l'autre sens (selon $k$, pas selon $p^*$).

Je pars donc cette fois-ci de ma suite exacte de complexes $0\to \Omega^\bullet(M/G)\to \Omega^\bullet(M)\to C^\bullet \to 0$ ((je note $C^k=\Omega^k(M)/\Omega^k(M/G)$ pour simplifier les notations) qui m'induit une suite exacte longue de cohomologie

$0\to H^0_{\mathrm{dR}}(M/G)\to H^0_{\mathrm{dR}}(M)\to H^0(C^\bullet) \to H^1_{\mathrm{dR}}(M/G)\to H^1_{\mathrm{dR}}(M)\to H^1(C^\bullet)\to \dots$

Très bien; mais maintenant j'ai une suite exacte longue de machins sur lesquels $G$ agit; mais je peux difficilement faire un lien avec la cohomologie de groupes. J'avais cru lire que la cohomologie de groupes me permettrait d'en dire plus sur la flèche $H^k_{\mathrm{dR}}(M/G)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$, en particulier quand est-ce qu'elle induit un isomorphisme $H^k_{\mathrm{dR}}(M/G)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)^G$.

Question 2: Est-ce que j'ai fait n'importe quoi et ce n'est pas du tout comme ça qu'on fait le lien cohomologie de $G$/cohomologie de de Rham de $M$ et $M/G$ ?
Question 3 : Dans tous les cas, comment faire ce lien, qu'est-ce que la cohomologie de groupes peut m'apprendre sur cette flèche ?

En particulier j'avais lu un truc du style (je ne me souviens plus exactement): "si $G$ est fini, il est de torsion donc sa cohomologie à coefficients dans les modules pertinents est nulle, donc $H^1_{\mathrm{dR}}(M/G)\to H^1_{\mathrm{dR}}(M)^G$ est un isomorphisme; mais quand $G$ est infini ce n'est pas le cas, par exemple ça se voit avec $M=\R, G= \Z$: $S^1$ a une cohomologie de de Rham non nulle, alors que $\R$ n'en a pas".

Question bonus : Que se passe-t-il quand $G$ n'est pas discret ?

Voilà, voilà, désolé pour la longue question, et merci d'avoir lu jusqu'ici !