Matrices orthogonales et application mystère
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Comment trouver l'ensemble des applications linéaires qui sont invariantes par conjugaison avec les matrices orthogonales de $M_{2n+1}(\R)$, c'est-à-dire qui vérifient :
soit $\phi$ l'application linéaire qui vérifie:
$\forall A \in M_{2n+1}(\R) ,\ \phi(A)=\phi(MAM^{t}),$ où $M$ représente est n'importe quelle matrice de l'ensemble des matrices orthogonales.
Je vois bien que la trace marche, mais comment déterminer toutes les applications $\phi$ ?
Comment trouver l'ensemble des applications linéaires qui sont invariantes par conjugaison avec les matrices orthogonales de $M_{2n+1}(\R)$, c'est-à-dire qui vérifient :
soit $\phi$ l'application linéaire qui vérifie:
$\forall A \in M_{2n+1}(\R) ,\ \phi(A)=\phi(MAM^{t}),$ où $M$ représente est n'importe quelle matrice de l'ensemble des matrices orthogonales.
Je vois bien que la trace marche, mais comment déterminer toutes les applications $\phi$ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Merci pour vos réponses !
Comment montrer que l'espace vectoriel des matrices orthogonales engendre toutes les matrices ??
Une fois que c'est montré, j'utilise la linéarité de $\phi$ pour avoir :
$\forall{M}\in{M_{2n+1}},\ \phi(A)=\phi(MA\,^t\!M)$ où $M$ représente cette fois n'importe laquelle des matrices de $M_{2n+1}(\R)$, mais ça ce n'est pas vérifié par la trace ! Où est l'erreur svp ?
Je retiendrai que les matrices de permutation sont des matrices orthogonales !
$\forall{A}\in{M_{2n+1}(R)},\phi(A)=\phi(^tMAM)$ où M représente n'importe quelle matrice de $M_{2n+1}(R)$,
Elles sont aussi linéaires
Pourquoi le 2n+1 ?
J'ai vérifié c'est 2n+1, mais bon ça n'a pas l'air important.
Et du coup les applications linéaires qui vérifient ça c'est que l'application nulle ?
En fait je ne vois pas comment utiliser dans l'exo le fait que le plus petit sous-espace qui contient les matrices orthogonales est l'espace des matrices en entier.
Quelqu'un aurait une indication pour avancer dans l'éxo svp ?