Matrices orthogonales et application mystère

guillaume100
guillaume100
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Comment trouver l'ensemble des applications linéaires qui sont invariantes par conjugaison avec les matrices orthogonales de $M_{2n+1}(\R)$, c'est-à-dire qui vérifient :
soit $\phi$ l'application linéaire qui vérifie:
$\forall A \in M_{2n+1}(\R) ,\ \phi(A)=\phi(MAM^{t}),$ où $M$ représente est n'importe quelle matrice de l'ensemble des matrices orthogonales.

Je vois bien que la trace marche, mais comment déterminer toutes les applications $\phi$ ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    L'ensemble des coefficients de l'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique (par exemple le déterminant) est invariante par conjugaison, et pas uniquement par des matrices orthogonales.
  • JLT
    JLT
    @Poirot: il a demandé les applications linéaires. Il n'y a en effet que les multiples de la trace. Pour le voir, on démontre que l'espace vectoriel engendré par les matrices orthogonales est l'ensemble de toutes les matrices.
  • Poirot
    Poirot
    Oups j'ai lu trop vite.
  • guillaume100
    guillaume100
    Bonjour
    Merci pour vos réponses !

    Comment montrer que l'espace vectoriel des matrices orthogonales engendre toutes les matrices ??
    Une fois que c'est montré, j'utilise la linéarité de $\phi$ pour avoir :
    $\forall{M}\in{M_{2n+1}},\ \phi(A)=\phi(MA\,^t\!M)$ où $M$ représente cette fois n'importe laquelle des matrices de $M_{2n+1}(\R)$, mais ça ce n'est pas vérifié par la trace ! Où est l'erreur svp ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux voir que toute matrice élémentaire $E_{i,j}$ est la moitié de la somme d'une matrice de permutation et de cette même matrice où on a changé de signe toutes les colonnes sauf la $j$-ème.
  • guillaume100
    guillaume100
    Ouais merci pour la réponse !
    Je retiendrai que les matrices de permutation sont des matrices orthogonales !
  • guillaume100
    guillaume100
    L'ensemble des applications $\phi$ sont celles qui vérifient:

    $\forall{A}\in{M_{2n+1}(R)},\phi(A)=\phi(^tMAM)$ où M représente n'importe quelle matrice de $M_{2n+1}(R)$,

    Elles sont aussi linéaires

    Pourquoi le 2n+1 ?
  • JLT
    JLT
    Il n'y a pas de raison, à moins que tu aies mal recopié l'énoncé.
  • guillaume100
    guillaume100
    Bonjour

    J'ai vérifié c'est 2n+1, mais bon ça n'a pas l'air important.

    Et du coup les applications linéaires qui vérifient ça c'est que l'application nulle ?
  • guillaume100
    guillaume100
    Bonjour !

    En fait je ne vois pas comment utiliser dans l'exo le fait que le plus petit sous-espace qui contient les matrices orthogonales est l'espace des matrices en entier.

    Quelqu'un aurait une indication pour avancer dans l'éxo svp ?
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