Le $\mathbb Z$-module $\mathbb Q$
Bonjour j'aimerais montrer que le $\mathbb Z$-module $\mathbb Q$ n'est pas libre.
Pour cela j'ai supposé que c'est le cas. Et je pose $I$ une base de $\mathbb Q$ alors $\mathbb Q$ est isomorphe à $ \mathbb Z^{(I)}$. Soit $\phi$ cette isomorphisme. On pose $v=\phi(1)$. Et on a pour tout $q\in \mathbb Z$, $q\neq 0$ ,
$v=\phi(q\frac{1}{q})=q\phi(\frac{1}{q})$.
Je suis un peu perdu à partir d'ici. Un petit éclaircissement s'il vous plaît.
Comme $1\neq 0$ et $\phi$ injective alors $v \neq 0$
Et on a donc que n'importe quelle coordonnée de $v$ non nul est un multiple de $q$ ceci pour tout $q$ non nul. Ce qui est exclut d'où la contradiction.
Merci pour votre aide.
Pour cela j'ai supposé que c'est le cas. Et je pose $I$ une base de $\mathbb Q$ alors $\mathbb Q$ est isomorphe à $ \mathbb Z^{(I)}$. Soit $\phi$ cette isomorphisme. On pose $v=\phi(1)$. Et on a pour tout $q\in \mathbb Z$, $q\neq 0$ ,
$v=\phi(q\frac{1}{q})=q\phi(\frac{1}{q})$.
Je suis un peu perdu à partir d'ici. Un petit éclaircissement s'il vous plaît.
Comme $1\neq 0$ et $\phi$ injective alors $v \neq 0$
Et on a donc que n'importe quelle coordonnée de $v$ non nul est un multiple de $q$ ceci pour tout $q$ non nul. Ce qui est exclut d'où la contradiction.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Maintenant soit $x,y\in X$ alors il existe $p,q,u,v\in \mathbb Z^*$ telle que $x=\frac{p}{q}$ et $y=\frac{u}{v}$.
Or $qux -pvy=0$ ce qui contredit le fait que $X$ soit libre.
- ou tu utilises ce qui a été vu dans le fil en question ($\mathbb Q$ n'a pas de base sur $\mathbb Z$, parce que sinon en retirant un élément d'une base on aurait encore une base).
- ou tu utilises que deux éléments quelconques de $\mathbb Q$ sont liés sur $\mathbb Z$ et que $\mathbb Q$ n'est pas monogène.
Et pendant que nous y sommes, pourquoi ne pas montrer un résultat ``positif'' ? Soit $A$ un anneau commutatif intègre et $K$ son corps des fractions. À quelle condition le $A$-module $K$ est-il libre ?
Il faudrait que $A$ soit un corps.
Exact : et la condition ``$A$ est un corps'' est nécessaire et suffisante.
Soit $S$ l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles $\in \mathbb{Q}[t]$ et $S^{-1} = \{ \frac{1}{f(t)}, f(t) \in S\}$ alors comme $\mathbb{Q}$-algèbre $\mathbb{Q}(t) = \mathbb{Q}[t,S^{-1}]$
alors le corps des fractions rationnelles $\mathbb{Q}(t)$ est un $\mathbb{Q}$-module libre de base $\{ t^m, m \ge 0\} \cup \{ \frac{t^m}{f(t)^k}, f \in S, k \ge 1, m < \deg(f)\}$