Somme coefficients triangulaires dans O(R)

Soit $T_n$ la matrice triangulaire superieure formee uniquement de 1 y compris sur la diagonale et soit $T_n^*$ sa transposee. Soit $P_n=(\min(i,j))_{1\leq i,j\leq n}$ Alors $T_n^*T_n=P_n$ et si $U_n=T_nP_n^{1/2}$ alors la decomposition polaire de $T_n$ est $T_n=U_nP_n^{1/2}.$



Miantenant on te demande le max de $\mathrm{trace}\, O^*T_n$. Il y a gros a parier que si $S$ est une matrive definie positive alors $\mathrm{trace}\, O^*S\leq \mathrm{trace}S.$ Si cela est vrai, le max cherche est la trace de $P_n^{1/2}$ cad la somme de ses valeurs propres. Or $P^{1/2}_n$ n'est pas si horrible car la matrice $P_n^{-1}$ et ses valeurs propres sont bien connues. C'est un peu long a detailler. Peux tu calculer $P^{-1}$ et fouiller dans les bouquins? Reviens si tu n'y arrives point.

J'ai ce qu'il te faut, l'exo 9.5 du chapitre 2 de l'excellent cours de G.Letac d'algebre lineaire de 2 eme annee. Ton sup est $$\sum_{k=1}^n( 2\cos \frac{k\pi}{2n+1})^{-1}$$ Pour l'asymptotique on peut penser a une somme de Riemann mais comme $\cos (\pi x/2)$ tend vers 0 au voisinage de 1, il faut compenser par un $\frac{1}{\pi(1-x)}$ qui va fournir le $\log n$ dans le $n\log n/\pi$ voulu.

Soit $\theta\in]0,\pi[$. On consid\`ere les deux matrices d'ordre $n\geq 1$:
$$ A_n=\left[ \begin{array}{llllll}0&1&0&\cdots&0&0\\
1&0&1&\cdots&0&0\\
0&1&0&\cdots&0&0\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&0&0&\cdots&0&1\\
0&0&0&\cdots&1&1
\end{array} \right],
B_n=\left[ \begin{array}{llllll}
2\cos \theta&1&0&\cdots&0&0\\
1&2\cos \theta&1&\cdots&0&0\\
0&1&2\cos \theta&\cdots&0&0\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos \theta&1\\
0&0&0&\cdots&1&1+2\cos \theta
\end{array} \right]$$
(en convenant que pour $n=1$ on a $A_1=[1]$ et $B_1=[1+2\cos
\theta]).$ Montrer que pour $n\geq 2$ on a $\det B_{n+1}=2\cos
\theta \det B_n-\det B_{n-1}$ (M\'ethode: d\'evelopper par rapport
\`a la premi\`ere ligne: la r\'ecurrence n'est pas n\'ecessaire).
Montrer par r\'ecurrence que $$\det
B_n=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}+\frac{\sin n\theta}{\sin
\theta}=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$$
(Voir Szeg\"{o} "Orthogonal polynomials" page 29). Montrer que
$\det B_n$ s'annule pour $n$ valeurs distinctes de $\theta$ de
$]0,\pi[$, et les d\'eterminer. Si $P_{A_n}$ est le polyn\^ome
caract\'eristique de $A_n$, calculer $P_{A_n}(-2\cos \theta)$ et
d\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede les valeurs propres de $A_n.$ La
matrice $A_n$ est elle diagonalisable? Montrer que $2I_n-A_n$ est
d\'efinie positive. Montrer que $(2I_n-A_n)^{-1}=M_n=[\min(i,j)]_{1\leq i,j\leq n}.$ Montrer que les valeurs propres de $M_n$ sont $(4\cos^2\frac{k\pi}{2n+1})^{-1}.$