Polynôme et endomorphisme normal
dans Algèbre
Bonjour à tous
Soit E un espace vectoriel hermitien. Soit u un endomorphisme normal (qui commute avec son adjoint).
Comment montre-t-on l'équivalence entre "u est normal" et "il existe un polynôme à coefficients complexes tel que u*=P(u)" ??
Soit E un espace vectoriel hermitien. Soit u un endomorphisme normal (qui commute avec son adjoint).
Comment montre-t-on l'équivalence entre "u est normal" et "il existe un polynôme à coefficients complexes tel que u*=P(u)" ??
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Réponses
Un polynôme qui peut marcher c'est le polynôme caractéristique de u ? Mais comment faire pour l'égalité avec u*?
Un endomorphisme normal est diagonalisable en base orthonormée : la matrice de $u$ dans une telle base est alors diagonale. La base étant orthonormée, la matrice de $u^*$ dans cette même base est simplement la conjuguée de cette matrice diagonale. Il n'y a plus qu'à interpoler chaque élément diagonal sur son conjugué.
Ouais c'est vrai ça fait 0,
Par contre pourquoi la matrice de $u^*$ est la conjuguée de celle de $u$ ?
Dans une base où $u$ est diagonale
$<u(x),y>\,=\,<x,u^*(y)>$ implique que ${}^{t}\!XUY={\,}^{t}\!XU^*Y$, en prenant $X$ et $Y$ les vecteurs de la base j'obtiens $U=U^*$, ce n'est pas la conjuguée elles sont égales. Je crois que j'ai fait une grosse erreur.
J'admets que la matrice de $u^*$ dans la base c'est la conjuguée de celle de $u$, le polynôme cherché c'est celui qui associe la matrice conjuguée de $D$. Comment le trouver haha ?
Et tu te trompes dans ta démonstration, le produit hermitien $\langle u(x), y \rangle$ se traduit matriciellement par $^t(\overline{UX})Y$, c'est-à-dire $^t\overline{X}\,^t\overline{U}Y$. Au final tu retrouves bien $^t\overline{U} = U^*$.