Le stabilisateur est un sous-groupe distingué

chettah
chettah
dans Algèbre
Bonjour.

Comment montrer que stab(x) est un sous-groupe distingué dans G.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Il ne l'est pas en général !

    Tu es peut-être dans un cas où $x$ est fixe. Eh bien, tu prends un élément $h$ dans son stabilisateur, un élément $g$ quelconque dans $G$, pis tu vérifies que $ghg^{-1}$ fixe $x$ aussi.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Math Coss : dans le cas où $x$ est fixe... $Stab(x) = $ ? :-D

    chettah : je te propose l'exercice suivant : Qui est $Stab(g\cdot x) $ ? $Stab(x)$ est-il distingué ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Math Coss écrivait:
    > Tu es peut-être dans un cas où $x$ est fixe.

    Euh... Qu'est-ce que ça veut dire ?
    Quand $\mathbb Z$ agit sur $\mathbb Z/2019\mathbb Z$ par $n\cdot x = n+x\bmod{2019}$, aucun $x$ n'est fixe, mais tous les stabilisateurs sont distingués.
  • Math Coss
    Math Coss
    J'ai donné une condition suffisante pour que le stabilisateur soit distingué. Merci d'avoir confirmé qu'elle est valide... et pas très utile.
  • chettah
    chettah
    Maxtimax : stab(g.x)={g€G / g.(g.x)=g.x} et comme g.x=x on déduit que stab(g.x)={g€G | g.x=x}= stab(x) ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non, attention tu as mis le même $g$ aux deux endroits ! $Stab(g\cdot x) = \{h\in G \mid h\cdot (g\cdot x) = g\cdot x\}$
  • Poirot
    Poirot
    Ouïe ouïe ouïe, un mélange de variable muette et de variable liée. Tu ne peux pas écrire $$Stab(g.x) = \{g \in G \mid blabla\}$$ puisque le nom $g$ est déjà attribué à un certain élément fixé de $G$. Par contre l'écriture $$Stab(g.x) = \{h \in G \mid blabla\}$$ est correcte.
  • chettah
    chettah
    Oui, je me trompe tu as raison. Donc dans le cas général le stabilisateur n'est pas sous-groupe distingué ? À quelle conditions il est distingué !
  • Poirot
    Poirot
    Recommence le calcul et détermine $Stab(g.x)$ en fonction de $Stab(x)$. Tu en déduiras immédiatement la condition que tu cherches.
  • reuns
    reuns
    $Stab(x) $ est un sous-groupe de $G$

    est-ce que pour n'importe quel sous-groupe $H$ de $G$ tu peux trouver un ensemble $X$ une action de $G$ sur $X$ et un $x \in X$ tel que $Stab(x)= H$ ?

    Quid de $\bigcap_{x \in X} Stab(x)$ et $\bigcap_{a \in G} Stab(a.x)$ ?
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