Développement d'un déterminant
Bonjour.
Si on prend deux matrices $A,\, B \in \mathcal{M}_n(\C)$, on peut définir la fonction : $$
\forall \lambda \in \C,\quad f(\lambda)=\det(A+\lambda ,
$$ $f$ est polynomiale de degré au plus $n$ et s'écrit $f(\lambda)=a_0+a_1\lambda + \cdots +a_n \lambda^n$. Certains coefficients $a_i$ sont faciles à trouver : $a_0=\det(A)$, $a_n=\det(B)$.
Qu'en est-il des autres ? Que valent par exemple $a_{n-1}$ et $a_1$ ?
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
Si on prend deux matrices $A,\, B \in \mathcal{M}_n(\C)$, on peut définir la fonction : $$
\forall \lambda \in \C,\quad f(\lambda)=\det(A+\lambda ,
$$ $f$ est polynomiale de degré au plus $n$ et s'écrit $f(\lambda)=a_0+a_1\lambda + \cdots +a_n \lambda^n$. Certains coefficients $a_i$ sont faciles à trouver : $a_0=\det(A)$, $a_n=\det(B)$.
Qu'en est-il des autres ? Que valent par exemple $a_{n-1}$ et $a_1$ ?
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
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Réponses
En tout cas, si $B$ est inversible, on a $$f(\lambda) = \det(AB^{-1} + \lambda I_n) \det B,$$ et il est facile d'en déduire les coefficients en fonctions de $\det B$ et des valeurs propres de la matrice $AB^{-1}$ puisqu'on retrove presque le polynôme caractéristique de $AB^{-1}$, dont les coefficients sont (aux signes près) les polynômes symétriques élémentaires en les valeurs propres de $AB^{-1}$ (relations coefficients-racines).
Avec une solution très propre (mais un peu longue) de MT !
La réponse fait intervenir les mineurs principaux de $A^{-1}B$.