Montrer que vect(a,b) = vect(c,d)

Tu n'es pas convaincue parce que tu n'as rien quantifié.
Par contre, je n'ai pas vérifié les calculs mais ce que tu as fait n'est pas à jeter à la poubelle.

La conclusion (dernière ligne) est très étrange : on te demande "démontrer que Vect(a,b)=Vect(c,d)".
On s'attend à "voilà, j'ai démonté que c'est égal".
Ta réponse avec le "si et seulement si" laisse au correcteur un travail, a priori.

On te demande de démontrer une égalité et la réponse que tu obtiens est que cette égalité est équivalente à un système qui fait intervenir des lettres non définies : comment est-ce que ta solution pourrait convenir ?

Je plagie ton raisonnement pour la question : « Dans $\R^2$, montrer que la droite $D_1$ engendrée par $(1,1)$ est égale à la droite $D_2$ engendrée par $(2,2)$. »

Plagiaire a écrit:

Ma résolution : $x\times (1,1)=(x,x)$. De même, $w\times(2,2)=(2w,2w)$.
Ensuite je résous le système suivant : $\begin{cases}x=2w\\x=2w\end{cases}$. Ainsi j'ai trouvé que $D_1=D_2$ si et seulement si $x=2w$.

Tu vois le problème ? On ne sait ni qui sont $x$ et $w$, ni si finalement $D_1$ est égale à $D_2$ ou pas.

À quoi correspondent les calculs que tu as faits ? Les vecteurs de la forme $(2x+y, 3x-y, -x-2y)$ où $x$ et $y$ sont des réels donnés, sont les combinaisons linéaires de $a$ et $b$ ; les vecteurs de la forme $(3w+5t, 7w, -7t)$, où $w$ et $t$ sont des réels donnés, sont les combinaisons linéaires de $c$ et $d$.

La question est de montrer que tout vecteur qui est une combinaison linéaire d'un type est aussi combinaison linéaire de l'autre type ; autrement dit :

• si on se donne $(x,y)$, est-ce que le vecteur $v=(2x+y, 3x-y, -x-2y)$ est une combinaison linéaire de la forme $(3w+5t, 7w, -7t)$ ? c'est-à-dire :
  si on se donne $(x,y)$, peut-on trouver $(w,t)$ tel que $\begin{cases}2x+y=3w+5t\\3x-y=7w\\-x-2y=-7t\end{cases}$ ?
  et...
• si on se donne $(w,t)$, peut-on trouver $(x,y)$ tels que $\begin{cases}2x+y=3w+5t\\3x-y=7w\\-x-2y=-7t\end{cases}$ ?

Ce que tu as fait (en résolvant le système), c'est répondre positivement à la deuxième question : tu as montré (en principe, si ta résolution est correcte) que si on se donne $(w,t)$, on peut trouver $(x,y)$ tel que $xa+yb=wc+td$. Autrement dit, tu as montré que $\mathrm{vect}(c,d)\subset\mathrm{vect}(a,b)$. Il reste à justifier l'inclusion inverse.