Anneaux de nombres

Un isomorphisme dans quel sens précisément ? Soit $K_1,K_2$ deux corps de nombres et $O_{K_1},O_{K_2}$ leurs anneaux d'entiers

Que pour tout $p \in \mathbb{Z}$ premier non-ramifié, $O_{K_1}/(p) \cong O_{K_2}/(p)$ c'est équivalent à l'égalité des fonctions zeta de Dedekind $\zeta_{K_1}(s )= \zeta_{K_2}(s)$ ce qui arrive quand $F/\mathbb{Q}$ est Galois et que $G = Gal(F/\mathbb{Q})$ a deux sous-groupes $H_1,H_2$ tels que la représentation de permutation $Ind_{H_1}^G 1$ de $G$ sur $G/H_1$ est isomorphe à celle sur $G/H_2$, alors $K_1 = F^{H_1}, K_2 = F^{H_2}$ ont la même fonction zeta $\zeta_{K_1}(s) = L(s,Ind_{H_1}^G 1) = L(s,Ind_{H_2}^G 1) = \zeta_{K_2}(s)$ (au milieu c'est des fonctions L d'Artin)

Réciproquement si $\zeta_{K_1}(s) = \zeta_{K_2}(s)$ et $F $ la clôture galoisienne de $K_1K_2/\mathbb{Q}$ et $H_1=Gal(F/K_1),H_2 = Gal(F/K_2), G = Gal(F/\mathbb{Q})$ alors $Ind_{H_1}^G 1 \cong Ind_{H_2}^G 1$

Ça n'implique pas que $K_1 = \sigma(K_2)$ pour un $\sigma\in Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.

Après si tu parles d'isomorphisme de schémas ou de faisceau d'anneaux tu demandes que les localisations $(O_{K_1}-\mathfrak{p_1})^{-1} O_{K_1}$ et $(O_{K_2}-\mathfrak{p_2})^{-1} O_{K_2}$ soient isomorphes (au moins pour un $\mathfrak{p}_1$), pas seulement les corps résiduels, ce qui implique que $K_1 \cong K_2$ donc $K_1 = \sigma(K_2)$ pour un $\sigma\in Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.