Groupe des classes de Hodge.
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
Pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer clairement ce que signifie le corollaire suivant qui figure sur le lien suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_conjecture :
Le corollaire affirme :
If the algebra $ \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X) $ is generated by $ \mathrm{Hdg}^1 (X) $, then the Hodge conjecture holds for $ X $.
Merci infiniment.
Pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer clairement ce que signifie le corollaire suivant qui figure sur le lien suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_conjecture :
Le corollaire affirme :
If the algebra $ \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X) $ is generated by $ \mathrm{Hdg}^1 (X) $, then the Hodge conjecture holds for $ X $.
Merci infiniment.
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Réponses
Je n'ai pas compris ce que signifie formellement que : l'algèbre $\mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X)$ est engendrée par $\mathrm{Hdg}^1 (X)$. Qu'est ce que ça veut dire ?. :-)
@reuns :
On associer une sous-variété $V$ à une forme harmonique $ \omega $ par la dualité de Poincaré : $ \int_V f = \int_{ \mathbb{P}^n } [V] \wedge f = \int_{ \mathbb{P}^n } \omega \wedge f $ avec : $ \omega = [V] = [.] (V) $. :-)
Je voulais dire, est ce que l'algèbre $\mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X)$ est engendrée par $\mathrm{Hdg}^1 (X)$ signifie formellement que :
$ \forall \omega = \sum_{i=1}^{k} \omega_i \in \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X) $, on a : $ \omega_k = \eta_{k,1} \wedge \dots \wedge \eta_{k,k} = \ \ \displaystyle \wedge_{j=1}^{k} \eta_{k,j} $ avec : $ \eta_{i,j} \in \mathrm{Hdg}^1 (X) $ ?
Je corrige :
L'algèbre $\mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X)$ est engendrée par $\mathrm{Hdg}^1 (X)$ signifie formellement que :
$ \forall \omega = \sum_{i=1}^{k} \omega_i \in \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X) $, on a : $ \omega_k = \sum_{ \ell } r_{\ell} \ \eta_{k,1, \ell} \wedge \dots \wedge \eta_{k,k, \ell } $ avec : $ \eta_{i,j, \ell } \in \mathrm{Hdg}^1 (X) $ et $ r_{ \ell } \in \mathbb{Q} $ ? Non ?
A mon avis, l'algèbre $ \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X)$ est toujours engendrée par $\mathrm{Hdg}^1 (X)$, non ? c'est évident, parce que :
$ \forall \omega_k \in \mathrm{Hdg}^k (X) $ :
$ \omega_k = \sum_{i,j} f_{i,j} (z_{i_{1}} , \dots , z_{i_{k}} , \overline{z_{j_{1}}} , \dots , \overline{z_{j_{k}}} ) \ dz_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dz_{i_{k}} \wedge \overline{dz_{j_{1}}} \wedge \dots \wedge \overline{d z_{j_{k}}} $
$ = \sum_{i,j} f_{i,j} (z_{i_{1}} , \dots , z_{i_{k}} , \overline{z_{j_{1}}} , \dots , \overline{z_{j_{k}}} ) \ ( dz_{i_{1}} \wedge \overline{dz_{i_{1}}} ) \wedge \dots \wedge ( dz_{i_{k}} \wedge \overline{dz_{i_{k}}} ) \in \wedge_{i=1}^{k} \mathrm{Hdg}^1 (X) $
en réordonnant les $ dz_{i_{1}} , \overline{dz_{i_{1}}} , ... , dz_{i_{k}} , \overline{dz_{i_{k}}} $
Donc, l'algèbre $ \mathrm{Hdg}^* (X) = \displaystyle \bigoplus_k \mathrm{Hdg}^k (X)$ est engendrée par $\mathrm{Hdg}^1 (X)$, non ? Où est le problème ?
Ensuite est-ce que tu dis que si $\omega= f(z) dz_a \wedge d\overline{z_b}$ est une $2$-forme harmonique sur $X$ variété complexe de dimension $n$ il existe une sous variété complexe $V = V(\omega)$ telle que pour toute $2n-2$-forme harmonique $\nu$, $\int_X \nu \wedge \omega = \int_V \nu$ ?
Comment tu fais pour construire $V$ et dire qu'elle est complexe ?
> Comment faire pour associer une sous-variété à
> une forme harmonique $\omega = f(z) dz_a \wedge
> d\overline{z_b}$ ?
Je ne sais pas où tu as vu ça mais je ne pense pas que c'est vrai (si c'est vrai je ne sais pas comment le montrer). En revanche on peut associer un cycle à une forme en utilisant la dualité de Poincaré, sous l'hypothèse que $X$ est compact et orientable (cette dernière hypothèse étant automatiquement satisfaite si $X$ est une variété complexe).
Non, je dis que, si $ V $ est une sous variété algébrique projective de $ X $ de dimension $ k $ avec $ X $ de dimension $ n > k $, il existe $ \omega = \omega (V) $ une $ (k,k) $ - forme telle que pour toute $ (n-k , n-k ) $-forme harmonique $\nu$, on a : $\int_X \nu \wedge \omega = \int_V \nu$.
La construction de $ \omega = \omega (V) $ se fait en appliquant le théorème de dualité de Poincaré.
Toujours dans le cadre de la conjecture de Hodge, si $ X $ est une variété projective complexe, $ \mathrm{cl}_X \ : \ Z^k (X) \to H^{k,k} ( X , \mathbb{Q} ) \subset H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ est l'application class map, la conjecture de Hodge prédit que : $ \mathrm{cl}_X \ : \ Z^k (X) \to H^{k,k} ( X , \mathbb{Q} ) $ est surjective.
Ma question est de savoir pourquoi, la conjecture de Hodge ne définit l'application class map que pour les groupes de Cohomologie $ H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ et non pour les autres qui restent, c'est à dire, les groupes de Cohomologie $ H^{2k+1} ( X , \mathbb{C} ) $, est ce que c'est parce que, on a toujours, $ H^{2k+1} ( X , \mathbb{C} ) = 0 $ comme pour le cas du fameux exemple très connu : $ H^{2k+1} ( \mathbb{P}^n ( \mathbb{C} ) , \mathbb{C} ) = 0 $ pour tout $ k = 0 , \dots , n $ ? Pourquoi ?
... Désolé si ma question est bête.
Merci d'avance
L'application classe de cycles est définie pour les groupes de classes de cycles, pas pour les groupes de cohomologie, elle atterrit dans les groupes de cohomologie, la classe d'un cycle de codimension $p$ est une classe de type $(p,p)$ elle vit dans le $H^{2p}$.
Le $H^1(E(\mathbb{C}), \mathbb{Z})$ est de rang 2 pour $E/\mathbb{C}$ une courbe elliptique, il n'est pas nul.
Tu affirmes que $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{Z} ) $ est de rang $ 2 $, donc, non nul, mais quelle est l'image de $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{Z} ) $ dans $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{C} ) $ ? parce que, je crains que $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{Z} ) $ soit un groupe de torsion, et donc, son image dans $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{C} ) $ soit nulle.
A-t-on $ H^1 ( E( \mathbb{C} ) , \mathbb{C} ) \neq 0 $ ?
Merci d'avance.
Et $H^1(E(\mathbb{C}), \mathbb{C}))$ est un C-espace de dimension 2.