Conjecture de Goldbach via les groupes

Leur idée c'est que le groupe symétrique $\mathfrak S_n$ contient un élément d'ordre $r$ ssi $n \ge \Omega(r)$ où $\Omega(r)= \sum_{p^k \mid r} p^k$.

(soit $g \in \mathfrak S_n$ un tel élément et $m_1\ldots m_l$ son type de permutation alors $r = \mathrm{ppcm}(m_1,\ldots,m_l)$ et $n = \sum_{j=1}^l m_j$)

Est-ce qu'on peut faire quelque chose avec ça ? L'exposant de $\mathfrak S_n$ c'est donc $e(\mathfrak S_n) = \mathrm{ppcm}( \{ r, \Omega(r) \le n \}) = \mathrm{ppcm}( \{ p^k \le n\}) = \mathrm{ppcm}(1,\ldots, n) = \prod_{p^k \le n} p= e^{\psi(n)}$ où l'hypothèse de Riemann c'est $\psi(n) = n+O(n^{1/2}\log^2 n)$

Est-ce qu'on peut l'estimer autrement, en diagonalisant une matrice, ou avec des modèles aléatoires ? A priori oui et non, mais surtout non.

Par exemple l'hypothèse de Riemann se cache dans la suite de matrices $A^{(n)}_{i,j} = \lfloor \frac{n}{ij} \rfloor$ mais il faut regarder la norme matricielle de $(A^{(n)})^{-1}$ pour avoir les trucs non-triviaux qui nous intéressent, et ce n'est pas vraiment possible de la prévoir juste en regardant $A^{(n)}$, entre autre parce que l'équivalent de RH est faux (absence de produit eulérien pour $\sum_k (4k+1)^{-s}$) quand on remplace $A^{(n)}$ par $B^{(n)}_{i,j} = \lfloor \frac{n}{(4i+1)(4j+1)} \rfloor$ qui pourtant à première vue a l'air vraiment pareil.