Représentation irréductible
Bonjour
Pourriez-vous m'apporter de l'aide sur l'exercice suivant ?
Soit $(\rho, V)$ une représentation irréductible d'un groupe fini $G$ sur un corps algébriquement clos $k$.
Montrer que si $V$ est de dimension $1$ sur $k$, alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=\mathrm{Id}_V
$$ et si $\dim V>1$ alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=0.
$$ J'observe par exemple que, pour $v\in V,\ v\neq0$, alors,
si jamais le vecteur $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v$ est non nul, la droite $\text{Vect}(v)$ est stable sous l'action de $G$ donc $\text{Vect}(v)=V$ et $V$ est de dimension $1$.
Pourriez-vous m'apporter de l'aide sur l'exercice suivant ?
Soit $(\rho, V)$ une représentation irréductible d'un groupe fini $G$ sur un corps algébriquement clos $k$.
Montrer que si $V$ est de dimension $1$ sur $k$, alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=\mathrm{Id}_V
$$ et si $\dim V>1$ alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=0.
$$ J'observe par exemple que, pour $v\in V,\ v\neq0$, alors,
si jamais le vecteur $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v$ est non nul, la droite $\text{Vect}(v)$ est stable sous l'action de $G$ donc $\text{Vect}(v)=V$ et $V$ est de dimension $1$.
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Réponses
Je veux dire, le vecteur $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v$ pourrait très bien être nul...
Mais bon, je pense qu'il est pas difficile de trouver un $v$ (non nul !) tel que $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v\neq 0$
Soit $v\neq 0$. Posons $w=\frac{1}{|G|}\sum \rho(g)v$ alors $\text{Vect}(w)$ est $G$-stable donc c'est 0 ou $V$.
Si c'est $V$ alors $V$ est une droite et comme $\rho(g)w=w$ pour tout $g\in G$, alors on a bien l'égalité voulue (par linéarité)
Si c'est 0, alors $w=0$
(attention, c'est pas difficile sauf si $\mathrm{dim}V>1$, auquel cas c'est impossible :-D )
Cela vaut pour n'importe quelle représentation irréductible non triviale [de dimension $1$] de n'importe quel groupe : si on suppose que $G$ est simple [non abélien], il n'en existe pas ; sinon, il peut en exister.
Edits : [précisions].
Cela permet-il de rétablir la "justesse" de l'exercice ?
Oui, en effet, merci beaucoup : $|G| \neq 0$ dans $k$ (mais pas dans $\mathbb{N}$ !)
Pour la justesse de l'exercice, Math Coss a raison il faut remplacer la disonction selon que $\mathrm{dim}V =1$ par une disjonction selon que $V$ est triviale ou non. Indication : qui est l'image de notre gentil opérateur ?
Dd Kg : $0$ divise tout ? :-S Il faut peut-être revoir la définition de diviser
merci pour vos réponses.
Sinon, il existe $g_0\in G$ tel que $\rho(g_0)\neq Id_V$, puis il existe $v$ tel que $\rho(g_0) v \neq v$
je pose alors $w=\sum\rho(g) v$
l'espace vectoriel engendré par $w$ est $G$-stable donc c'est $0$ ou $V$.
Suis-je sur la bonne voie ?
$$\frac{1}{|G|}\sum \rho(g) w = w$$
donc $\frac{1}{|G|}\sum \rho(g)=Id_V$
on retourne dans le premier cas!
reste donc a traiter $\text{Vect}(w)=0$
$\bullet$ Si $V$ est triviale, c'est ok.
$\bullet$ Sinon, pour tout $v\in V$ l'espace vectoriel ($G$-stable) engendré par $\sum gv$ est nécessairement 0 (car si par malheur, c'était $V$, on vérifie facilement $V$ serait triviale). donc $\sum g =0$ donc $\frac{1}{|G|}\sum g=0$
Soit $V$ une représentation irréductible de $G$ sur $k$ (les mêmes qu'auparavant), et $a$ un endomorphisme de $V$. Montrer que $$
\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(ga)
$$ vaut $a$ si $V$ est triviale et vaut $0$ sinon.
Bon bien sûr, il y a un problème dans la question.
Pouvez-vous m'aider à rétablir l'énoncé correct ?
Dans la somme, est-ce $Tr(g)a$ ou bien le "membre de droite" est-il égal à $Tr(a)$ plutôt que $a$ ?
Enfin, pourquoi cet indice $V$ pour la trace ?
Par ailleurs, je veux bien une indication pour la question.
Merci.
Tu peux utiliser la question précédente, et le fait que $$\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(g)a = \left(\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(g)\right)a.$$