Famille libre et famille génératrice

Apprenti · February 2019

Bonjour,
je suis au début de l'algèbre linéaire et j'ai cette question à résoudre.

E est un sous-espace vectoriel de R⁵.
On suppose que E contient une famille libre de 3 vecteurs. Je dois montrer qu'aucune partie de E à 2 vecteurs n'est génératrice et qu'une famille de E à 3 vecteurs est une base.

Pour le moment je cherche la première question et je propose ceci.
Dans tout EV de dimension finie il existe des bases, or E contient une famille libre de 3 éléments donc il y a au moins 3 vecteurs dans une base et au moins 3 vecteurs générateurs. Alors toute famille de 2 vecteurs ne peut être génératrice. Je voudrais savoir si c’est recevable et s'il n'y a pas moyen de faire une démonstration plus "calcul".
Merci pour votre aide.

marsup · February 2019

Bonjour,

Je pense que la réponse devra forcément commencer comme ceci :

Soit $E$ un sev de $\R^5$.

Supposons que $E$ contient une famille libre $\mathcal{L} = (l_1,l_2,l_3)$.

(Qu'est-ce que ça nous apprend sur $\dim(E)$ ?)

Ensuite, au choix :
* Soit $\mathcal{G}$ une famille génératrice de $E$. Montrons que $\mathcal{G}$ contient au moins 3 vecteurs.
* Soit $\mathcal{F}$ une famille de $E$ contentant deux vecteurs ou moins. Montrons que $\mathcal{F}$ n'est pas génératrice.

(Pour la deuxième question, tu veux dire que si $\mathcal{G}$ est génératrice et contient trois vecteurs, alors $\mathcal{G}$ est une base)

Apprenti · February 2019

Bonjour et merci pour la réponse. Je vais essayer de faire comme proposé. Ma proposition initiale est-elle correcte et sinon pourquoi ?
Pour la deuxième question oui j'ai oublié de préciser génératrice.

Poirot · February 2019

Tu as sûrement vu un résultat dans ton cours qui te dit que dans un espace vectoriel, le cardinal d'une famille génératrice est toujours supérieur ou égal au cardinal de n'importe quelle famille libre. Ça résout immédiatement l'exercice. J'ai l'impression que c'est ce que tu utilises dans ta résolution, mais l'argument n'est pas clair "il y a au moins $3$ vecteurs générateurs" ne veut pas dire grand-chose.

Math Coss · February 2019

Un résultat général est le suivant : si on a, dans un espace vectoriel, une famille libre à $m$ vecteurs et une famille génératrice à $n$ vecteurs, alors $m\le n$.

C'est une partie du lemme d'échange de Steinitz qui a pour conséquence l'invariance du cardinal des bases. La preuve que j'ai en tête est constructive, « calcul » si on veut, elle repose sur l'algorithme du pivot de Gauss.

On peut aussi déduire ce résultat du théorème de la base incomplète et du théorème sur l'invariance des bases mais c'est plausiblement considérer une étape de la démonstration comme une conséquence du résultat. [Je mets « plausiblement » parce qu'il pourrait y avoir d'autres approches où on peut se passer de cette étape.]

gerard0 · February 2019

Bonjour Apprenti.

Pour savoir si ta réponse est correcte, il faut que tu regardes de près ton cours, pour savoir si tu as une règle (définition, théorème, lemme, ..) qui justifie ce que tu dis. Comme tu débutes, on ne sait pas ce que tu as comme propriétés utiles.
Par contre, l'an prochain, comme toutes les propriétés classiques seront supposées connues, tu n'auras quasiment presque plus rien à justifier : J'ai une partie libre à 3 éléments, donc la dimension est au moins 3 et les parties génératrices ont au moins 3 éléments. C'est ce que tu dis dans ton premier message.
Bonne relecture de ton cours.

Cordialement.

Apprenti · February 2019

Merci Poirot, oui c'est bien ce que je voulais dire.

Apprenti · February 2019

Je reprends ma justification.
Comme il existe une famille libre de 3 vecteurs, la dimension de E est au moins égale à 3.
Supposons qu'il existe une famille de 2 vecteurs génératrice de E. Alors,
- soit elle est libre et c'est une base. Il y a contradiction avec le fait que la dimension est au moins de 3.
- soit elle est liée et alors c'est une base comprenant un seul vecteur. Il y a encore contradiction.
Donc il ne peut y avoir de famille génératrice comprenant 2 vecteurs.

Apprenti · February 2019

Après relecture du cours, je proposée aussi :
Supposons que E soit engendré par une famille de de 2 vecteurs donc toute famille de plus de deux vecteurs est liée ce qui est contradictoire avec le fait qu'il existe une famille libre de 3 vecteurs.
Ou avec la même hypothèse : de toute famille liée on peut extraire une base. On pourrait donc extraire une base comprenant au plus 2 vecteurs alors qu'il existe une famille libre de 3 vecteurs, d'où la contradiction.
Même conclusion, il ne peut y avoir de famille génératrice de deux vecteurs.

gerard0 · February 2019

C'est "de toute famille génératrice", pas "de toute famille liée".

Je passe à la suite de ton énoncé : "et qu'une famille de E à 3 vecteurs est une base." ??? Tu as dû rater quelque chose, ou oublier de nous donner une hypothèse. Car si tes 3 vecteurs sont linéairement dépendants, c'est foutu; et même s'ils sont indépendants, si E est de dimension 4 ou 5, 3 vecteurs ne sont jamais une base.

Cordialement.

Apprenti · February 2019

A gerad0,
Oui c'est bien de toute famille génératrice que je voulais parler.
Pour la question suivante je la redonne correctement : il s'agit de montrer que si E contient une famille libre de 3 vecteurs, une famille génératrice de E à 3 vecteurs est une base. Là, je n'arrive pas à prouver que cette famille génératrice est une base car il faudrait qu'elle soit libre et je ne vois comment faire le lien avec la famille libre qui peut être différente. Il y a quelques chose que je n'ai pas dû comprendre.

gerard0 · February 2019

Ok, il manquait bien une hypothèse.

Il faut alors raisonner en 2 étapes :
Si on a une famille génératrice à 3 éléments, la dimension est de ..
Puis appliquer une règle que tu as sans doute dans ton cours sur les familles libres ou génératrices de même taille que la dimension. Si tu ne l'as pas, suppose simplement que ta famille soit liée.

Cordialement.

Apprenti · February 2019

Bonjour,
je reprends le fil de ma question (problèmes d'ordinateur) avec les deux étapes proposées :
E contient une famille libre soit (l₁, l₂, l₃) et j'ai aussi une famille génératrice à 3 éléments soit (g₁, g₂, g₃).
Je suis tenté de dire que la dimension est 3 mais ne faut-il pas que ce soit la même famille qui soit à la fois génératrice et libre ? C'est là que je ne comprends pas. Merci.

gerard0 · February 2019

Tu confonds "être une base" qui concerne des familles d'éléments de E, et "avoir la dimension n" qui concerne E. De tes hypothèses ("E contient une famille libre soit (l₁, l₂, l₃) et j'ai aussi une famille génératrice à 3 éléments soit (g₁, g₂, g₃)") on déduit que E est de dimension 3. Donc on peut dire qu'il existe une famille libre et génératrice à 3 éléments (une base - en fait, il en existe une infinité).
Ensuite, en vertu du théorème (facile à prouver) : "Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille libre à n éléments est une base", tu peux conclure que (l₁, l₂, l₃) est aussi une base. Et en vertu du théorème (facile à prouver) : "Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille génératrice à n éléments est une base", tu peux conclure que (g₁, g₂, g₃) est aussi une base.

Ces petits raisonnements sont en fait des applications simples de règles du cours à parfaitement connaître (même quand c'est "facile à prouver") : C'est une base sur laquelle on va construire des outils très efficaces.

Cordialement.

Apprenti · February 2019

Merci pour la réponse. Si je comprends bien mon cours, il y a quand même bien un lien entre base de E et dimension de E puisque je déduis que la dimension est 3 du fait qu'il y a 3 vecteurs libres et 3 vecteurs générateurs ? Ou alors je n'ai pas compris ce qui est bien possible.

gerard0 · February 2019

Oui,

un espace vectoriel est de dimension 3 s'il a une base à 3 éléments. Tu n'as pas ça dans ton cours ? C'est quand même assez surprenant que tu poses la question. Et cette définition s'appuie sur un théorème général qui dit que toutes les bases d'un espace vectoriel sont équipotentes (sont en bijection l'une avec l'autre). Ou, dans des cours élémentaires, sur le fait que si un espace vectoriel a une famille génératrice finie, il a alors une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre d'éléments est la dimension de l'espace vectoriel, dit "de dimension finie".

Mais tu as ça dans ton cours, non ?

Math Coss · February 2019

Petite remarque de vocabulaire : si on parle de « vecteurs générateurs », on a l'impression que chaque vecteur pris séparément est générateur. Au contraire, c'est une propriété collective de la famille des vecteurs. C'est pour cela que l'on parle plutôt de « famille génératrice ». La même remarque s'applique pour des « vecteurs libres », une expression inappropriée à remplacer par « famille libre ».

Apprenti · February 2019

Oui j'ai bien ça dans mon cours. C'est quand vous disiez que je confondais "être une base"et "avoir la dimension n" que j'ai sans doute mal comprise.

Apprenti · February 2019

Oui merci pour cette précision de vocabulaire.

gerard0 · February 2019

Attention,

la notion de "vecteur libre" est classique chez les physiciens, c'est le vecteur géométrique des mathématiciens, par opposition au vecteur lié (par exemple une force et son point d'application).
C'est plus long à écrire, mais "linéairement indépendants" oblige bien à considérer un ensemble ou une suite de vecteurs.

Cordialement.

Math Coss · February 2019

Dont acte. Toutefois, ici...

Famille libre et famille génératrice

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