Diagonalisation
Bonjour,
J'ai un doute sur l'exercice suivant :
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie,
$f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2$ est diagonalisable.
Montrer que $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $\ker(f)=\ker(f^2)$.
J'ai l'impression que cela ne fonctionne pas si $E$ est un espace vectoriel sur $\R$,
mais seulement si $E$ est un $\C$-espace vectoriel...
Merci de vos indications...
J'ai un doute sur l'exercice suivant :
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie,
$f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2$ est diagonalisable.
Montrer que $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $\ker(f)=\ker(f^2)$.
J'ai l'impression que cela ne fonctionne pas si $E$ est un espace vectoriel sur $\R$,
mais seulement si $E$ est un $\C$-espace vectoriel...
Merci de vos indications...
Réponses
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Effectivement, $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable, alors que $R^2$ l'est (et que les 2 noyaux coïncident).
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Tu as raison. Si $f$ est l'endomorphisme vérifiant $f^2=-Id_E$, alors $f^2$ est diagonalisable (sic!) mais $f$ n'a aucune valeur propre réelle, et pourtant les noyaux de $f$ et $f^2$ sont nuls.
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Merci pour vos remarques !
Première implication :
Si $f$ est diagonalisable :
Dans une base de diagonalisation de $f$, qui est aussi une base de diagonalisation de $f^2$,
on voit facilement que les noyaux de $f$ et de $f^2$ sont égaux.
Implication réciproque :
Si $f$ et $f^2$ ont le même noyau, deux cas :
1. Leur noyau commun est nul.
Dans ce cas, le polynôme minimal $$P=\prod_i(X-\lambda_i)$$ est scindé à racines simples, et 0 n'en est pas racine.
En notant, pour chaque $i$, $\alpha_i$ un complexe tel que $\alpha_i^2=\lambda_i$, et $$
Q=\prod_i(X-\alpha_i)(X+\alpha_i)
$$ on a : $$
Q(f)=P(f^2)=0
$$ Or les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts, donc les $\pm\alpha_i$ aussi,
donc $f$ a un polynôme annulateur scindé à racines simples : $f$ est diagonalisable.
2. Sinon en notant $$P=X\prod_i(X-\lambda_i)$$ le polynôme minimal, scindé à racines simples, de $f^2$ et, avec les mêmes $\alpha_i$ que dans le cas 1, tous non nuls $$
Q=X^2\prod_i(X-\alpha_i)(X+\alpha_i)
$$ on a encore : $$
Q(f)=P(f^2)=0
$$ Notons $R=\prod_i(X-\alpha_i)(X+\alpha_i)$.
Alors $Q(f)=(X^2.R)(f)=f^2\circ(R(f))$.
Pour tout $x$ de $E,$ $\quad Q(f)(x)=0$,
donc $\quad f^2(R(f)(x))=0$,
donc $\quad R(f)(x)\in\ker(f^2)=\ker(f)$,
donc $\quad f(R(f)(x))=0$,
donc $\quad f\circ R(f)=0$,
et donc $X.R$ est un polynôme scindé à racines simples annulant $f$ : $f$ est diagonalisable.
Peut-on simplifier la résolution ?
[Ne pas abuser des expressions centrées. :-) AD]
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