Nombres p-adiques

D'abord, il serait judicieux de fixer un $p$. Ensuite si tu représentes chaque $x_n$ par un représentant $N_n$ dans $\mathbb Z$, la condition de cohérence est la congruence $N_n \equiv N_{n+1}$ $[p^n ]$. Autrement dit $N_{n+1}$ doit être de la forme $N_n +p^n M_n$, pour un $M_n$ dans $\mathbb Z$. Donc pour construire un $(x_n )\in {\mathbb Z}_p$ par un liste de représentants $(N_n )$, tu choisis $N_0\in {\mathbb Z}$ au hasard, tu choisis $M_0\in {\mathbb Z}$ au hasard et tu poses $N_1 =N_0 +pM_0$, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. En fait, vu que seule la valeur de $N_n$ modulo $p^n$ importe, tu vois que tu peux choisir les $M_n$ dans $\{ 0,1,...,p-1\}$.

Par exemple pour $p=2$, je choisis $N_0=1$ et $M_n =1$ pour tout $n$. cela donne le nombre dyadique
$x=(1,11,111,1111,11111,...)$ (j'ai écris les nombres en base $2$ pour ne pas me fatiguer), c'est-à-dire $x=(1,3,11,27,...)$ (en base $10$).

Par exemple en base $p=3$, je choisis $N_0 =1$ et $M_n =0$ si $n$ est pair, $M_n =1$ si $n$ est impair. J'obtiens le nombre $x=(1,(0)1,101,(0)101,10101,...)$ (en base $3$) ou encore $x=(1,1,10,10,...)$ (en base $10$).

En fait l'usage est d'écrire les nombres $p$-adiques en base $p$. Donc si tu as $N_n = N_0 +\sum_{k=1}^{n-1} M_n p^n$, $M_n \in \{ 0,1,...,p-1\}$, on écrit $N_n =M_{n-1}\cdots M_2 M_1 N_0$ (écriture en base $p$). On décide d'écrire le nombre $p$-adique $x =(N_n )$ par l'écriture formelle $x =\cdots M_n M_{n-1} \cdots M_1 N_0$ (il y a une infinité de chiffres à gauche !).

On peut rendre cette écriture rigoureuse et cohérente en équipant ${\mathbb Z}_p$ d'une topologie pour laquelle $p^n$ tend vers $0$, quand $n$ tend vers l'infini. Pour cette topologie, la série $N_0 +\sum_{k=1}^{\infty} M_n p^n$ est convergente de somme $x$.

Quand on définit ${\mathbb Z}_p$ comme la limite projective des ${\mathbb Z}/p^n {\mathbb Z}$, $n\geqslant 0$, il faut voir que pour chaque $n$, ${\mathbb Z}/p^n {\mathbb Z}$ est une "approximation" de ${\mathbb Z}_p$ à $p^n$ près ... Il faut voir la suite $(x_n) = ({\bar N}_n )$ comme convergeant vers le $p$-adique $x$. C'est exactement comme avec les nombres réels. Tu as deux façons de voir le nombre $\pi$ :

1) c'est la limite de la suite $(x_n )=(3 \, ; \, 3.1 \, ; \, 3.14 \, ; \, 3.141 \, ; \, 3.1415 \, ; \, ...)$ ;

2) c'est le nombre $3,1415926535 ...$

Evidemment c'est la même chose. Dans le deuxième cas, tu codes la suite $(x_n )$ par la suite infinie des décimales.

Tu peux voir les nombres $p$-adiques dans ${\mathbb Q}_p$ comme des écritures infinies en base $p$, où l'on se permet une infinité de chiffres avant la virgule, mais pas après, à l'opposé de ce qu'il se passe pour $\mathbb R$.

Cette définition des $p$-adiques par limite projective n'est pas très éclairante pour un débutant. On a l'impression qu'ils sortent de nulle part. C'est pourtant ce que fait Serre dans son Cours d'Arithmétique (mais Serre est un algébriste et il était limité par le format de son livre).

Il est beaucoup plus naturel de partir du corps $\mathbb Q$. On obtient $\mathbb R$ en complétant $\mathbb Q$ pour la métrique donnée par la valeur absolue habituelle. Cela revient à rajouter à $\mathbb Q$ toutes les limites de ses suites de Cauchy qui ne convergent pas. Un théorème du à Ostrowski affirme qu'à équivalence près, à part la valeur absolue usuelle sur $\mathbb Q$, il y en a une pour chaque nombre premier, notée $\vert \! - \! \vert_p$. Un rationnel $r$ s'écrit de façon unique $r= p^v \frac{n}{m}$, où $v\in {\mathbb Z}$ et $m>0$ et $n$ et $m$ premiers entre eux et premiers à $p$. On pose alors $\vert r\vert_p = \frac{1}{p^v}$. Ensuite en complétant $\mathbb Q$ pour la métrique $d(x,y)=\vert x-y\vert_p$, on obtient le corps ${\mathbb Q}_p$.

Ce point de vue est très bien expliqué avec preuves et détails dans Local fields de Cassels ou bien $p$-Adic numbers, an introduction de Gouvea (plus récent). Malheureusement, il n'y a pas grand chose en français.