Lemme de Yoneda et cohomologie

Bonsoir à tous,

On sait d'après le lemme de Yoneda que pour tout objet $ A $ d'une catégorie $ \mathcal{C} $, et pour tout foncteur $ T \ : \ \mathcal{C} \to \mathrm{Ens} $, on a : $ \mathrm{Nat} ( h^A , T ) \simeq T(A) $ avec : $ h^A (-) = \mathrm{Hom} ( A , - ) $.
Si on prend le foncteur de cohomologie : $ H^{ \bullet } $, et $ X $ une variété algébrique projective complexe, on a : $ \mathrm{Nat} ( h^X , H^{ \bullet } ) \simeq H^{ \bullet } (X) $.

Ma question est de savoir si on peut trouver un représentant $ Y $ du foncteur $ H^{ \bullet } $ s'il est effectivement représentable pour avoir la suite d'isomorphismes suivante :
$ \mathrm{Nat} ( h^X , H^{ \bullet } ) \simeq H^{ \bullet } (X) = h^Y (X) = \mathrm{Hom} (Y , X )$ ?.

Merci d'avance.