Corps de fractions rationnelles
Bonjour,
Soit $F$ le corps $\R(X)[Y]/(X^2+Y^2+1)$. $F$ n'est pas un corps de fractions rationnelles (à une variable) sur $\R$: il n'existe pas de $z \in F$ tel que $F=\R(z)$. Mais existe-t-il un sous-corps $K$ de $F$ et $z \in F$ tels que $F=K(z)$ avec $z$ transcendant sur $K$ ?
Merci d'avance.
Soit $F$ le corps $\R(X)[Y]/(X^2+Y^2+1)$. $F$ n'est pas un corps de fractions rationnelles (à une variable) sur $\R$: il n'existe pas de $z \in F$ tel que $F=\R(z)$. Mais existe-t-il un sous-corps $K$ de $F$ et $z \in F$ tels que $F=K(z)$ avec $z$ transcendant sur $K$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
comme $F$ est de degré de transcendance $1$ sur $\mathbb{R}$, et que $z$ serait transcendant sur $\mathbb{R}$, $K$ serait algébrique sur $\mathbb{R}$, non ? On aurait donc $K\simeq \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
Or, il me semble que ce n'est guère possible que $F$ contienne $i$ (ou même un élément de carré $-1$). Mais bon, à prendre avec des pincettes (le weekend, tout ça tout ça)
Mel.
Oui, tout élément de $F$ algébrique sur $\R$ est dans $\R$. En effet, notons $x$ la classe de $X$ dans $F=\R(X)[Y]/(X^2+Y^2+1)$ , $y$ celle de $Y$, soit $\sigma$ le morphisme qui associe $x$ à $x$, et $-y$ à $y$. Si $u=A(x)y+B(x)$ est algébrique sur $\R$, alors $\sigma(u)=-A(x)y+B(x)$ est aussi algébrique sur $\R$, donc $u+\sigma(u)$ aussi donc $2B(x)$ est algébrique sur $\R$. Comme $x$ est transcendant par rapport à $\R$, on a $B(x)=b_0 \in \R$.
De même $u\sigma(u)$ est aussi algébrique sur $\R$, donc $B^2(x)-A^2(x)y^2=b_0^2+A^2(x)(x^2+1)$ aussi. Si $A(X)\neq 0$, la fraction $b_0^2+A^2(X)(X^2+1)\notin \R$, et $u \sigma(u)$ est transcendant par rapport $\R$, ce qui est impossible, donc $A(X)=0$, et $u=b_0 \in \R$.