Groupe de Chow

Bonsoir à tous,

J'aimerais vous demander de me corriger la démarche que j'ai emprunté dans ce qui suit afin d'établir que : $ CH_{n-i} (X) = H_{n-i}^{ch} (X) $ avec :

$ CH_{n-i} (X) = Z_{n-i} (X) / \sim = Z^i (X) / \sim $ est le groupe de Chow de $ X $ avec $ X $ une variété algébrique projective complexe de dimension $ n $, et $ Z^i (X) $ est le groupe abélien libre engendré par les sous variétés de $ X $ de codimension $ i $ et $ \sim $ est l'équivalence rationnelle définie comme suit : $ \forall V \in Z^i (X) $ : $ V \sim 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ V = \sum \mathrm{div} (f) $ avec : $ 0 \neq f \in \mathbb{C} (X) $ et $ W \subset X $ est une sous variété arbitraire de codimension $ i-1 $.

$ H_{n-i}^{ch} (X) $ est ce que j'ai appelé groupe d'homologie de Chow de $ X $ de codimension $ i $ et est défini comme suit :
Soit le complexe de Chow défini par :
$$ 0 \to Z_n (X) \to Z_{n-1} (X) \to \dots \to Z_{n-(i-1)} (X) \to Z_{n-i} (X) \to \dots \to Z_{0} (X) = \{ 0 \} $$
tel que les applications de bord $ \partial_{n-i} \ : \ Z_{n-i} (X) \to Z_{n-(i-1)} (X) $ est définie par :
$$ \partial_{n-i} V (f_1 , \dots , f_{i} ) (x_0 , \dots , x_{n-1} ) = \displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} V(f_1 , \dots , f_i ) (x_0 , \dots , x_{j-1} , 0 , x_{j+1} , \dots , x_{n-1} ) $$
avec :
$$ V (f_1 , \dots , f_{i} ) (x_0 , \dots , x_{n-1} ) = \{ \ (x_0 , \dots , x_{n-1} ) \in \mathbb{C}^{n} \ | \ f_{1} (x_0 , \dots , x_{n-1} ) = \dots = f_i (x_0 , \dots , x_{n-1} ) = 0 \ \} $$
et $ \partial_{n-i} \circ \partial_{n-i-1} = 0 $.

On définit le groupe d'homologie de Chow : $ H_{n-i}^{ch} (X) $ comme suit :
$$ H_{n-i}^{ch} (X) = \mathrm{ker} \partial_{n-i} / \mathrm{im} \partial_{n-(i-1)} $$
avec :
$ \mathrm{ker} \partial_{n-i} = \{ \ V \in Z_{n-i} (X) \ | \ \partial_{n-i} V = 0 \ \} $
$ \mathrm{im} \partial_{n-(i-1)} = \{ \ V \in Z_{n-i} (X) \ | \ \exists W \in Z_{n-i+1} (X) \ : \ V = \partial_{n-i+1} W \ \} $

Soit $ \varphi $ l'application inclusion canonique linéaire $ \varphi \ : \ \mathrm{ker} \partial_{n-i} \to Z_{n-i} (X) $ définie par : $ \varphi (V) = V $.
Est ce que jusqu'ici, tout va bien ?

Maintenant j'aimerais montrer que $ \varphi ( \mathrm{im} \partial_{n-i+1} ) \subset ~ \sim $ pour en déduire que : $ H_{n-i}^{ch} (X) = \mathrm{ker} \partial_{n-i} / \mathrm{im} \partial_{n-(i-1)} = Z_{n-i} (X) / \sim \ = CH_{n-i} (X) $.
Pour cela, il faut montrer que : $ \forall W \in Z_{n-i+1} (X) $ : $ \varphi ( \partial_{n-i+1} W ) = \partial_{n-i+1} W = \sum_f \mathrm{div} (f) $ avec : $ f $ à déterminer, non ? Comment déterminer les $ f $ ?

Merci d'avance.