Représentations semi-simples
Bonjour,
Tout d'abord je définis les abréviations que je vais utiliser : (ss-)rpz = (sous-)représentation.
Je dois faire cet exercice, dont j'ai réussi les deux premières questions.
Pour la première il suffit de dire que si elle ne contient aucune ss-rpz irréductible, alors elle est elle même irréductible.
La deuxième se fait en utilisant le lemme de Schur et la définition de $V$.
Mais pour la troisième je n'ai aucune idée de comment commencer... Quelqu'un pourrait m'aider ?
Tout d'abord je définis les abréviations que je vais utiliser : (ss-)rpz = (sous-)représentation.
Je dois faire cet exercice, dont j'ai réussi les deux premières questions.
Pour la première il suffit de dire que si elle ne contient aucune ss-rpz irréductible, alors elle est elle même irréductible.
La deuxième se fait en utilisant le lemme de Schur et la définition de $V$.
Mais pour la troisième je n'ai aucune idée de comment commencer... Quelqu'un pourrait m'aider ?
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Réponses
Le point (b) sous-entend que l'on a une inclusion naturelle de $X$ dans $V$, pour chaque irréductible $X$. Mais quelle est-elle ? Ca n'est pas clair. Si par inclusion, on entend injection, est-ce une injection de $G$-modules ?
Si oui, la composante $X$-isotypique de $V$ est $M_X\otimes X$. On a donc une injection de $X$ dans $M_X\otimes X$.
Or les sous-$G$-modules irréductibles de $M_X\otimes X$, sont les $D\otimes X$, où $D$ est une droite de $X$. Donc l'injection $X\subset V$ définit une droite $D$ de $M_X$, dit autrement une injection $k\rightarrow M_X$.
Ça me paraissait bizarre que on n'exclue pas $X$ dans la question c) effectivement. Il suffit alors de montrer que $Im(X) = M_X \otimes X$ c'est ça ?
Je poste aussi les deux dernières questions au cas où, car elles me donnent du mal aussi.
Pas vraiment. De plus $Im (X)$ ne veut rien dire.
Comment utilises-tu le lemme de Schur pour prouver (b) ?
Hom_G(X,V) = Hom_G(X, \oplus_Y M_Y\otimes Y) = \oplus_Y Hom_G(X,M_Y \otimes Y) = \oplus_Y M_Y \otimes Hom_G(X,Y).
$$ Or par le lemme de Schur
\begin{align*}
Hom_G(X,Y) &= \delta_{X,Y}. k. Id, & \text{donc}\\
Hom_G(X,V)&=M_X
\end{align*} et comme $k$ s'injecte dans $Hom_G(X,V)$ par $\lambda . Id$, il s'injecte aussi dans $M_X$ par ces isomorphismes.
Pour la question c) alors je ne suis même pas sûr de comprendre la notation de l'exercice $Im(X\subset W)$ ...
En fait cet exercice (et le suivant, que j'ai réussi à faire) démontrent le théorème de Maschke. Mais ce n'est pas du tout de la manière que j'avais vu en cours (on utilisait les caractères). Ici c'est beaucoup plus abstrait et ça me perd un peu.
\begin{align*}
Hom_G(X,Y) &= \delta_{X,Y}. k. Id, &
\text{donc}\\
Hom_G(X,V)&=M_X
\end{align*}
et comme $k$ s'injecte dans $Hom_G(X,V)$ par $\lambda . Id$ [...]
Ceci n'a pas de sens : $\lambda .Id$ n'est pas un élément de $M_X$ mais de ${\rm End}(M_X)$ ...
L'isomorphisme ${\rm Hom}_G (X,V) \simeq M_X$ est lui correct. Il dit que tout élément de ${\rm Hom}_G (X,V) \simeq M_X$ définit un vecteur $v$ de $M_X$, d'où une injection de $k$ dans $M_X$ par $\lambda \mapsto \lambda v$.