Degré de croissance polynomiale

paulinho · February 2019

Bonjour,
Je viens de commencer la théorie géométrique des groupes et je me pose quelques questions sur des exercices (4 et 5 document joint).
Dans l'exercice 4,
1) S ne doit pas être une partie génératrice finie?
- Pour la question (b) un exemple de groupe : $\mathbb{Z}^d$ ?
- Y a-t-il un groupe qui vérifie (c) ?

Pour l'exercice 5 je ne sais pas comment m'y prendre.

Quelqu'un pourra me donner des références d'un livre sur la théorie géométrique des groupes (de préférence en français) ?
Merci d'avance.

PS. $b_{G,S} (R)= \sharp \left\{ g \in G \mid \exists k \leq R ,\ \exists s_1,\ldots,s_k \in S,\ g=s_1 \cdots s_k \right\}$ 84174

Maxtimax · February 2019

Oui, $S,S'$ doivent être finies (sinon $b_{G,S}(R)$ n'est même pas bien défini !)

Pour la (b), oui; sais-tu le prouver ?

Si tu n'appelles pas entier $\infty$, alors la réponse est facilement oui; si on demande "fini non entier" je ne connais pas la réponse.

Pour l'exercice 5, tu peux commencer par prendre une famille génératrice finie $T$ de $H$, $S$ de $G$ contenant $T$ et comparer $b_{G,S}(R)$ et $b_{H,T}(R)$

paulinho · February 2019

Pour le (b) si $G=\mathbb{Z} ,\ S=\{-1,1\}$ du coup $b_{G,S} (R) =2R +1 $ du coup $\exists C \geq 1$ tel que $2R+1 \leq CR$
Si $G=\mathbb{Z}^d ,\ b_{G,S} (R) =(2R +1)^d \leq CR^d $ ?

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]

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