Endomorphismes cycliques

Cauchyx · February 2019

Bonjour
J'essaye de montrer le résultat suivant.

Soit E un C-ev de dimension finie n, u dans L(E),
Il existe un endomorphisme cyclique dans le commutatif de u.

Pour l'instant, j'ai essayé de raisonner à l'aide de la décomposition de [large]D[/large]unford : u=d+n
Si u est diagonalisable, j'ai conclu en construisant un endomorphisme codiagonalisable avec u possédant exactement n valeurs propres.
Je n'arrive pas à résoudre le cas nilpotent pour l'instant.
Des idées ?

[Nelson Dunford (1906-1986) prend toujours une majuscule. AD]

Poirot · February 2019

On dit le commutant de $u$, que je noterai $\mathcal C(u)$.

Tu connais peut-être le résultat qui énoncé $v$ cyclique $\Leftrightarrow$ $\mathcal C(v) = \mathbb C[v]$. Ainsi, si $v \in \mathcal C(u)$ est cyclique, alors d'après le résultat précédent, $\mathbb C[v] = \mathcal C(v) = \mathcal C(u)$. Ça peut peut-être aider à trouver $v$.

Cauchyx · February 2019

Ça ne m'apporte pas grand chose de plus cette caractérisation, c'est un probleme assez difficile je crois...

Champ-Pot-Lion · February 2019

Tu connais la forme normale de Jordan ou Frobenius ?

Cauchyx · February 2019

Oui, c'est vrai que ça permet de d'écrire exactement le commutant d'un endomorphisme mais le recollement par blocs d'endomorphismes cycliques pour bien marcher nécessite d'avoir des polynômes minimaux premiers entre eux, je sais pas si on peut l'avoir

Champ-Pot-Lion · February 2019

Du coup, déjà on se réduit à une matrice de Jordan par blocs. Ensuite, le but serait de construire une autre matrice par blocs (on remplace chaque bloc de Jordan par une matrice à trouver), de telle sorte que les blocs de Jordan commutent avec les blocs correspondants, et de telle sorte que la matrice totale soit cyclique.

edit : Oui, donc le but est que les trucs soient premiers entre eux, et c'est faisable.

Endomorphismes cycliques

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26