Matrice / déterminant
dans Algèbre
Bonjour
J'ai un exercice à résoudre dans mon DM d'algèbre mais je n'arrive pas à aller au bout. Voici le sujet.
Soit n un entier naturel >= 1. Peut-on trouver une matrice carrée réelle A de taille nxn telle que A^4 = -In
J'ai commencé par écrire une égalité avec le déterminant :
det(A^4) = det(-In)
det(A)^4 = (-1)^n
J'ai ensuite remarqué pour ne pouvais pas trouver de solution pour n impair
Je cherche maintenant à démontrer que l'on peut trouver une matrice carrée de taille nxn telle que A^4 = -In pour n pair.
Le problème est que je n'arrive pas à trouver la forme que la matrice devrait avoir pour satisfaire cette égalité.
Merci d'avance.
J'ai un exercice à résoudre dans mon DM d'algèbre mais je n'arrive pas à aller au bout. Voici le sujet.
Soit n un entier naturel >= 1. Peut-on trouver une matrice carrée réelle A de taille nxn telle que A^4 = -In
J'ai commencé par écrire une égalité avec le déterminant :
det(A^4) = det(-In)
det(A)^4 = (-1)^n
J'ai ensuite remarqué pour ne pouvais pas trouver de solution pour n impair
Je cherche maintenant à démontrer que l'on peut trouver une matrice carrée de taille nxn telle que A^4 = -In pour n pair.
Le problème est que je n'arrive pas à trouver la forme que la matrice devrait avoir pour satisfaire cette égalité.
Merci d'avance.
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Réponses
1- Montrer que si tu peux trouver un $A$ pour $n=2$, tu as gagné
2- Chercher un $A$ pour $n=2$.
Tu sais que s'il y a une solution positive, le point 2 est forcément réalisable; donc tu peux commencer par ça (si tu ne trouves pas, le point 1 est inutile). En revanche, le point 1 est très simple donc tu peux aussi commencer par ça.
Pour le cas $n=2$ tu auras ensuite plusieurs approches : chercher brutalement en posant des équations à $4$ inconnues par exemple; si tu connais un peu de réduction tu peux aussi appliquer tes connaissances à ce problème
Pensons géométriquement. Peux-tu trouver une application linéaire du plan dans lui-même telle que, quand on la fait quatre fois, on envoie $(x,y)$ sur $(-x,-y)$ ?
-- Schnoebelen, Philippe