Polynôme à plusieurs indéterminées

Si pour tout $i$, le degré de $P$ en $x_i$ est inférieur à $M$, on choisit un ensemble $E$ à $M+1$ éléments inclus dans $K$.
Le polynôme $P$ s'annule sur $E^n$.
Soit $P=P_0(x_2,\dots,x_n)+\dots+P_M(x_2,\dots,x_n)x_1^M$
Soit $(m_2,\dots,m_n) \in E^{n-1}$, $P(x_1,m_2,\dots,m_n)$ est un polynôme de degré $\leq M$ à une variable qui a au moins $M+1$ solutions dans $K$. Donc $P_0(m_2,\dots,m_n)=\dots=P_M(m_2,\dots,m_n)=0$.
Donc $P_0,\dots, P_M$ s'annule sur $E^{n-1}$.
Et ainsi de suite...

Disons que le problème de départ c'est étant donné $P(X_1,\ldots,X_n)\in K[X_1,\ldots,X_n]$ de trouver une affectation de $x_1,\ldots,x_n\in K^n$ tel que $P(x_1,\ldots,x_n) \ne 0$.

Cas $P$ homogène : si $n=1$ alors renvoie $x_1= 1$, sinon relance le programme avec $P(X_1^2,X_2,\ldots,X_n)$ et renvoie les valeurs de $x_1^2,x_2,\ldots,x_n$

Cas $P$ non homogène : soit $C(a_1,\ldots,a_n)$ le coefficient de plus haut degré de $P(a_1 t,\ldots,a_n t) \in L[t], L = K(a_1,\ldots,a_n)$ , relance le programme avec $C(A_1,\ldots,A_n)$, avec les $a_j$ obtenus pose $Q(t) = P(a_1 t,\ldots,a_n t) \in K[t]$, essaye $\deg(Q)+1$ valeurs pour $t$ l'une donnera une valeur non-nulle, renvoie $(x_1,\ldots,x_n) = (a_1 t,\ldots,a_n t)$.


Le tout marche bien parce qu'à chaque fois qu'on relance le programme c'est avec un polynôme avec moins de monômes.