Série formelle de Laurent

1. Oui, il y a deux formats distincts de séries de Laurent : le développement en série de Laurent d'une fonction méromorphe dans une couronne fait apparaître une somme doublement infinie ; dans le corps des séries de Laurent, les séries sont bornées à gauche (on peut les voir comme des éléments $\sum_{n\in\Z}a_nX^n$ mais il existe un entier $N$ tel que $a_n=0$ pour $n<-N$).

2. La description « monôme en $X$ à coefficient dans $KX$ » n'est pas pertinente parce qu'elle n'est pas unique : est-ce que $X^3+X^4$, c'est le monôme $X^3$ multiplié par le coefficient $1+X$ ou le monôme $X^2$ multiplié par $X+X^2$ ?

En revanche, la description $KX[X^{-1}]$ est pertinente : $K((X))$ est l'anneau obtenu en inversant formellement (plus précisément en localisant) l'élément $X$, de même que l'anneau des décimaux est $\mathbf{D}=\Z[10^{-1}]$. La différence, c'est que $K((X))$ est un corps, parce que $X$ est « le seul obstacle à l'inversibilité », au sens où toute série formelle non nulle $f(X)\in KX$ s'écrit de façon unique $X^vg(X)$, où $v\in\N$ et $g(0)\ne0$, et que $g(X)$ est inversible ; ainsi, dès que l'on sait inverser $X$, on sait inverser toute série $f(X)$ non nulle.

PS : Tiens, j'aurais pu rafraîchir la page avant de répondre. Enfin, cette réponse est compatible à celle de GaBuZoMeu.

Ah ! En effet, tu n'interprètes pas la notation de la façon habituelle. Quand on se donne un anneau commutatif $A$ et une partie $S$ non vide stable par produit (et dont les éléments sont simplifiables), on forme un anneau noté $A[S^{-1}]$ ou $S^{-1}A$ comme le quotient de l'ensemble des couples $(s,a)\in S\times A$ par la relation définie par : $(s,a)\sim(s',a')$ si $s'a=sa'$. On note $s^{-1}a$ ou $a/s$ la classe de $(s,a)$. On définit alors les opérations avec les formules habituelles : $(s,a)\cdot(s',a')=(ss',aa')$ et $(s,a)+(s',a')=(ss',s'a+sa')$. On obtient un anneau avec pour neutres $0=(s,0)$ et $1=(s,s)$ (pour $s$ quelconque dans $S$).

Si $S=\{X^n,\ n\in\N\}$ pour un élément $X$ de $A$, on peut noter $A[X^{-1}]$ au lieu de $A[S^{-1}]$. Pour $A=KX$, la notation $KX[X^{-1}]$ ne désigne pas un anneau de polynômes en $X$ à coefficients dans $KX$ mais la localisation de $KX$ par rapport à la partie multiplicative $\{X^n,\ n\in\N\}$.


NB : on peut localiser par rapport à une partie $S$ quelconque, la relation devient : $(s,a)\sim(s',a')$ s'il existe $t\in S$ tel que $t(sa'-s'a)=0$. Par exemple, si $S$ contient $0$, tous les couples $(s,a)$ sont dans la même classe d'équivalence et on obtient l'anneau nul : une nouvelle illustration qu'il est bien difficile de diviser par $0$. Exercice : qu'est-ce que $(\Z/10\Z)[5^{-1}]$ (sens : $S$ est l'ensemble des puissances de $5$ dans $\Z/10\Z$) ?

Depuis quand $0$ est une puissance de $5$ dans $\mathbb Z/10\mathbb Z$ ?

C'est exact. La force brute, parfois, a du bon.

Version chinoise : l'application naturelle $\Z/10\Z\to\Z/2\Z\times\Z/5\Z$ qui à la classe d'un entier $k$ modulo $10$ associe le couple formé par ses classes modulo $2$ et modulo $5$ est un isomorphisme. L'image de $5$ est le couple $(1,0)$. On doit donc localiser $\Z/2\Z\times\Z/5\Z$ par rapport à $(1,0)$ : on se convainc qu'il ne se passe rien dans le facteur de gauche et que localiser par $0$ tue le facteur de droite. Il reste $\Z/2\Z$.

Pour être un peu plus précis, la partie $S=\bigl\{(1,1),(1,0)\bigr\}$ est stable par produit (en effet, $(1,0)$ est un idempotent) ; pour $x=(x_2,x_5)$ et $x'=(x'_2,x'_5)$ dans $\Z/2\Z\times\Z/5\Z$, on voit que $sx=sx'$ si et seulement si $x_2=x'_2$ : on en déduit que le localisé est bien le quotient par $\Z/5\Z$

Plus généralement, si $e^2=e$ dans un anneau $A$ et si $S=\{1,e\}$, on a bien l'impression que $A[S^{-1}]\simeq A/(1-e)$.