Famille orthonormée maximale

Si $F$ est une famille orthonormée maximale, $V$ le sous-espace engendré, alors $V^\bot=0$, donc $V^{\bot\bot} = E$.

La différence entre le cas hilbertien et le cas général est que $V^{\bot\bot}$ n'est pas forcement l’adhérence de $V$, il peut la contenir strictement. Un contre-exemple viendra donc d'un contrexe-emple de l’égalité entre adhérence et bi-orthogonal. On peut voir un contre-exemple ici par exemple.
Tu peux sûrement essayer de travailler à partir de ça.