Réduction de Jordan

Bonsoir,

Je cherche à effectuer la réduction de Jordan d'une matrice $A$, mais j'éprouve quelques difficultés. La matrice $A$ est la suivante,

$A = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$

La valeur propre de $A$ est $\lambda = 3$ (multiplicité triple).

À présent, je recherche des vecteurs propres relatifs à la valeur propre $\lambda = 3$.

Je cherche donc, $\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} \neq 0$ t.q. $(A - \lambda I) x = 0$
\begin{align*}
&(A - \lambda I) x = 0 \\
\iff & \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
-1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = 0 \\
\iff &
\left\{ \begin{matrix}
x + y - 2z = 0 \\ -x -y + 2z = 0
\end{matrix} \right.
\end{align*}

Puisque les deux équations sont linéairement dépendantes, j'obtiens successivement,

\begin{align*}
& \ x + y -2z = 0 \\
\iff & \ 2z = x + y \\
\iff & \ z = \frac{x + y}{2}
\end{align*}

Par conséquent, les vecteurs propres de $A$ relatifs à la valeur propre $\lambda = 3$ sont de la forme:
$$\begin{pmatrix}
x \\ y \\ \frac{x + y}{2}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \\ 0 \\ \frac{x}{2}
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\ y \\ \frac{y}{2}
\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \frac{1}{2}
\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$$ où $x$ et $y$ sont des constantes complexes non nulles et arbitraires.

Deux vecteurs propres linéairement indépendants relatifs à la valeur propre $\lambda = 3$ sont par exemple donnés par ($x = y = 2$),

$\vec{u}_1 = \begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix}
0 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}$

Ainsi, je remarque que puisqu'il est impossible de trouver trois vecteurs propres de $A$ relatifs à $\lambda = 3$ et linéairement indépendants, la matrice $A$ ne peut pas être diagonalisée.

J'aimerais donc effectuer la réduction de Jordan afin d'écrire $A$ de la façon la plus simple possible sous la forme $A = S D S^{-1}$.

Pour ce faire, je cherche un troisième vecteur $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix}
u_{3,x} \\ u_{3,y} \\ u_{3,z}
\end{pmatrix}$ que j'obtiens en calculant,

\begin{align*}
& \ A \vec{u}_3 = \lambda \vec{u}_3 + \vec{u}_1 \\
\iff &\ (A - 3 I) \vec{u}_3 = \vec{u}_1 \\
\iff &\ \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
-1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
u_{3,x} \\ u_{3,y} \\ u_{3,z}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

J'ai choisi de mettre $\vec{u}_1$ ou $\vec{u}_2$ dans la formule de façon arbitraire.

Toutefois, je bloque à cet endroit précis étant donné que la troisième équation donne $0 = 1$.