Nombre de morphismes entre groupes cycliques

Tu dis "car les groupes G et G' sont cycliques" mais je ne vois pas cette hypothese dans l'enonce : devrait-elle y etre ? (ca change beaucoup la difficulte de l'exercice, et meme peut-etre sa validite - je sais comment m'y prendre dans les deux cas mais je n'ai pas fait les verifications)

S'il n'y a pas d'hypothese de cyclicite, une bonne premiere etape est de la rajouter. Connais-tu pour la suite le theoreme de structure des groupes abeliens finis ?

deux groupes abéliens (ie cycliques),

Non, un groupe abélien n'est pas forcément cyclique ! Abélien veut dire commutatif, cyclique veut dire engendré par un élément (et, d'habitude, fini). Un groupe cyclique est abélien, mais un groupe abélien fini n'est pas en général cyclique : par exemple $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ est un groupe abélien à quatre éléments et n'est pas cyclique.

Ah ! Effectivement, la confusion cyclique/abélien n'aidait pas.
Ok bon dans ce cas-là on va se simplifier la vie en prenant $\Z/n\Z$ et $\Z/n'\Z$ directement.

Sais-tu comment définir un morphisme de groupes de $\Z/n\Z$ vers un groupe $H$ quelconque ? Enfin sous quelles conditions existe-t-il un morphisme $\Z/n\Z\to H$ qui vaut $h\in H$ en $1$ ?

Oui, mais quand est-ce que c'est bien défini ? Par exemple si $n=3$, tu dois avoir $f(1)=f(4)$ et donc $h=h^4$; plus généralement... ?

Bah non, tu peux avoir $h^n = 1$ sans que $H$ tout entier soit réduit à $\langle h\rangle$, ni même que $h$ soit d'ordre $n$ !

Qu'est-ce que tu as vu sur les quotients ?

Bon. Si tu as un sous-groupe normal $H\triangleleft G$, alors tu peux définir le quotient $G/H$, il vérifie la propriété suivante pour tout groupe $K$, où je note $\pi :G\to G/H$ la projection canonique :

$f\mapsto f\circ \pi$ est une bijection entre $\{f: G/H\to K \mid f$ est un morphisme de groupes $\}$ et $\{l : G\to K \mid l$ est un morphisme de groupes et $l(H)=\{1\}\}$

Cette propriété est la propriété principale de $G/H$, elle le définit presque; et c'est comme ça que tu peux définir des morphismes qui partent de $G/H$. Ce qu'elle dit c'est "un morphisme de $G/H\to K$, c'est pareil qu'un morphisme $G\to K$ qui s'annule sur $H$".

Une fois que ce slogan est compris, tout s'éclaire : un morphisme $\Z/n\Z\to K$, c'est un morphisme $\Z\to K$ qui s'annule sur $n\Z$. Mais maintenant, un morphisme $f:\Z\to K$ est entièrement déterminé par $f(1)$ (en effet $f(k) =f(1+...+1) = ...$ ), et $f$ s'annule sur $n\Z$ si et seulement si $f(1)^n = f(n) = 1$ (je note $K$ multiplicativement) (en effet si $f$ s'annule sur $n\Z$ on a clairement $f(n)=1$, et si $f(n)=1$, alors ...)

Donc un morphisme de $f:\Z/n\Z\to K$, c'est un morphisme de $\tilde{f} : \Z\to K$ tel que $\tilde{f}(1)^n = 1$; c'est-à-dire c'est un élément $k\in K$ tel que $k^n = 1$.

Si ce que j'ai écrit là est clair, l'exercice deviendra simple. Donc est-ce que c'est clair, ou as-tu besoin de précisions, y a-t-il quelque chose que tu ne comprends pas ?

Je ne parle pas d'existence ou non de morphismes, je parle de concrètement que sont les morphismes, cela devrait te permettre de les compter !