Nombre de morphismes entre groupes cycliques
dans Algèbre
Bonjour !
Je suis en L3 de mathématiques, et je suis tombé sur un exercice qui me donne du fil à retordre... :-S
Voici l’énoncé.
Soit G, G' deux groupes cycliques d'ordre respectifs n et n'. Soit d le pgcd de (n,n'). Soit z la fonction indicatrice d'Euler.
Montrer que pour tout diviseur k de d, il y a z(k) morphismes f:G-->G' tels que l'ordre du groupe f(G) soit égal à k.
J'ai déjà réussi à montrer les questions précédentes, j'ai donc prouvé que :
* Pour tout générateur a de G, si g et h sont deux morphismes de G dans G' vérifiant g(a)=h(a), alors g=h
* Pour tout générateur a de G, f(a) est un générateur de f(G)
* L'ordre du groupe f(G) divise n et n'.
Pour cette question, j'ai voulu me ramener à Zn et Zn' , car les groupes G et G' sont cycliques. Ensuite, j'ai voulu utiliser qu'il y a autant de morphismes recherchés que de possibilités d'envoyer a (le générateur de G) sur un élément de Zn'. Le problème est que je n'arrive pas à prouver cela, et même est-ce vrai ? Car j'ai posé ceci pour un a fixé, mais G pourrait avoir plusieurs générateurs...
Mais ensuite je suis perdu...
Pourriez-vous m'aiguiller ?
P.S. Excusez-moi pour le LaTeX je ne sais pas m'y prendre :-(
Je suis en L3 de mathématiques, et je suis tombé sur un exercice qui me donne du fil à retordre... :-S
Voici l’énoncé.
Soit G, G' deux groupes cycliques d'ordre respectifs n et n'. Soit d le pgcd de (n,n'). Soit z la fonction indicatrice d'Euler.
Montrer que pour tout diviseur k de d, il y a z(k) morphismes f:G-->G' tels que l'ordre du groupe f(G) soit égal à k.
J'ai déjà réussi à montrer les questions précédentes, j'ai donc prouvé que :
* Pour tout générateur a de G, si g et h sont deux morphismes de G dans G' vérifiant g(a)=h(a), alors g=h
* Pour tout générateur a de G, f(a) est un générateur de f(G)
* L'ordre du groupe f(G) divise n et n'.
Pour cette question, j'ai voulu me ramener à Zn et Zn' , car les groupes G et G' sont cycliques. Ensuite, j'ai voulu utiliser qu'il y a autant de morphismes recherchés que de possibilités d'envoyer a (le générateur de G) sur un élément de Zn'. Le problème est que je n'arrive pas à prouver cela, et même est-ce vrai ? Car j'ai posé ceci pour un a fixé, mais G pourrait avoir plusieurs générateurs...
Mais ensuite je suis perdu...
Pourriez-vous m'aiguiller ?
P.S. Excusez-moi pour le LaTeX je ne sais pas m'y prendre :-(
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Réponses
S'il n'y a pas d'hypothese de cyclicite, une bonne premiere etape est de la rajouter. Connais-tu pour la suite le theoreme de structure des groupes abeliens finis ?
Ne connaissant pas ce théorème, je suis allé regarder, mais je ne comprend pas comment l'utiliser dans ce cas là...
Ok bon dans ce cas-là on va se simplifier la vie en prenant $\Z/n\Z$ et $\Z/n'\Z$ directement.
Sais-tu comment définir un morphisme de groupes de $\Z/n\Z$ vers un groupe $H$ quelconque ? Enfin sous quelles conditions existe-t-il un morphisme $\Z/n\Z\to H$ qui vaut $h\in H$ en $1$ ?
Qu'est-ce que tu as vu sur les quotients ?
$f\mapsto f\circ \pi$ est une bijection entre $\{f: G/H\to K \mid f$ est un morphisme de groupes $\}$ et $\{l : G\to K \mid l$ est un morphisme de groupes et $l(H)=\{1\}\}$
Cette propriété est la propriété principale de $G/H$, elle le définit presque; et c'est comme ça que tu peux définir des morphismes qui partent de $G/H$. Ce qu'elle dit c'est "un morphisme de $G/H\to K$, c'est pareil qu'un morphisme $G\to K$ qui s'annule sur $H$".
Une fois que ce slogan est compris, tout s'éclaire : un morphisme $\Z/n\Z\to K$, c'est un morphisme $\Z\to K$ qui s'annule sur $n\Z$. Mais maintenant, un morphisme $f:\Z\to K$ est entièrement déterminé par $f(1)$ (en effet $f(k) =f(1+...+1) = ...$ ), et $f$ s'annule sur $n\Z$ si et seulement si $f(1)^n = f(n) = 1$ (je note $K$ multiplicativement) (en effet si $f$ s'annule sur $n\Z$ on a clairement $f(n)=1$, et si $f(n)=1$, alors ...)
Donc un morphisme de $f:\Z/n\Z\to K$, c'est un morphisme de $\tilde{f} : \Z\to K$ tel que $\tilde{f}(1)^n = 1$; c'est-à-dire c'est un élément $k\in K$ tel que $k^n = 1$.
Si ce que j'ai écrit là est clair, l'exercice deviendra simple. Donc est-ce que c'est clair, ou as-tu besoin de précisions, y a-t-il quelque chose que tu ne comprends pas ?
J'essaie de relier ceci à mon problème mais je ne vois pas comment avancer!
Tu peux répondre avec ce que tu as déjà fait et ce que t'a dit maxtimax.
merci à vous deux, vos réponses m'ont bien aidé à résoudre le problème que j'ai enfin réussi.
Bonne soirée.