Oui. Merci.
Voici la version anglaise de la page wiki précédente : [
en.wikipedia.org]
On dit dans cette page que :
$$ h^0 (X , \mathcal{F} \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( \mathcal{F} ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $$
En revenant à notre caractéristique d'Euler, on a :
Pour $ k > 0 $ suffisamment grand :
$ \chi ( X , M \otimes L^k ) = h^{0} (X , M \otimes O_{X} ( k D ) ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{k})}{k!} . k^n + O( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D \dots D ) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L) \dots c_{1} (L) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
pour $ D $ un diviseur tel que $ O_X (D) = L $, et :
$ (D^n) = c_1 ( O_X ( D^n ) ) = c_1 ( O_X ( D \dots D ) ) = c_1 (O_X (D)) \dots c_1 ( O_X (D) ) = c_1 ( O_X (D) )^n = c_1 (L)^n $
et $ \mathrm{rank} (M) = 1 $, c'est un fibré en droites.
Non ?
Donc, comme tu l'as bien remarqué Lupulus, le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ et non $ \int_X \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $, donc, il y'a une erreur dans l'ouvrage de Daniel Huybrechts qui a pour titre : Complex Geometry. Introduction.
Comment établir donc que : $ h^0 (X , M \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $ ? et comment établir aussi cette fois çi à l'aide du théorème de Hirzbruch-Riemana-Roch que le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ ?
Merci infiniment pour votre aide.
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
