Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch

Qui pourra faire le calcul : $ \chi ( X, M \otimes L^k ) = \mathrm{deg} ( \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) \mathrm{td} ( X ) )_{2n} = \mathrm{deg} ( \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) . \mathrm{td} ( X ) )_{2n} = ... $ ?
Moi, je ne sais pas le faire. Je ne suis pas habitué à ce calcul malheureusement.
Le point $ '.' $ dans $ \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) . \mathrm{td} ( X ) $ est le produit d'intersection dans l'anneau de Chow $ A^{ \bullet } ( X )_{ \mathbb{Q} } $. Vrai ?
Lupulus ? Tu peux venir m'aider un peu s'il te plaît ?

Merci d'avance.

On ne trouve pas ça dans wikipedia Lupulus.
Voici la page wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Hirzebruch-Riemann-Roch portant sur la Formule de Hirzebruch-Riemaann-Roch.

Oui. Merci.
Voici la version anglaise de la page wiki précédente : https://en.wikipedia.org/wiki/Hirzebruch–Riemann–Roch_theorem
On dit dans cette page que :
$$ h^0 (X , \mathcal{F} \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( \mathcal{F} ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $$
En revenant à notre caractéristique d'Euler, on a :
Pour $ k > 0 $ suffisamment grand :
$ \chi ( X , M \otimes L^k ) = h^{0} (X , M \otimes O_{X} ( k D ) ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{k})}{k!} . k^n + O( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D \dots D ) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L) \dots c_{1} (L) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
pour $ D $ un diviseur tel que $ O_X (D) = L $, et :
$ (D^n) = c_1 ( O_X ( D^n ) ) = c_1 ( O_X ( D \dots D ) ) = c_1 (O_X (D)) \dots c_1 ( O_X (D) ) = c_1 ( O_X (D) )^n = c_1 (L)^n $
et $ \mathrm{rank} (M) = 1 $, c'est un fibré en droites.
Non ?
Donc, comme tu l'as bien remarqué Lupulus, le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ et non $ \int_X \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $, donc, il y'a une erreur dans l'ouvrage de Daniel Huybrechts qui a pour titre : Complex Geometry. Introduction. :-)

Comment établir donc que : $ h^0 (X , M \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $ ? et comment établir aussi cette fois çi à l'aide du théorème de Hirzbruch-Riemana-Roch que le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ ?

Merci infiniment pour votre aide.