Fraction rationnelle
Bonjour ou bonsoir ( voir l'heure )
Voilà , c'est une idée qui m'est passé par la tête .
Peut-on trouver deux ou trois fractions tel que :
$$ \frac{P(x)}{Q(x)}= \pm \frac{P'(x)}{P"(x)} \pm \frac{Q'(x)}{Q"(x)} $$
$P'$ et $P"$ , des polynômes de même degré .
$Q'$ et $Q"$ , des polynômes de même degré
Ce que je veux dire , c'est transformer une fraction rationnelle en deux (ou plus) fractions rationnelles de même degré.
Amicalement
Tyoussef
Voilà , c'est une idée qui m'est passé par la tête .
Peut-on trouver deux ou trois fractions tel que :
$$ \frac{P(x)}{Q(x)}= \pm \frac{P'(x)}{P"(x)} \pm \frac{Q'(x)}{Q"(x)} $$
$P'$ et $P"$ , des polynômes de même degré .
$Q'$ et $Q"$ , des polynômes de même degré
Ce que je veux dire , c'est transformer une fraction rationnelle en deux (ou plus) fractions rationnelles de même degré.
Amicalement
Tyoussef
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Réponses
Énoncé à revoir ?
e.v.
Oui, veuillez-le revoir maintenant
Tes $\pm$ ne servant à rien (on peut intégrer les - dans les polynômes), je fais comme si c'était des $+$.
En décomposant en éléments simples dans chaque fraction, puis simplifiant éventuellement, le second membre donnera une constante (éventuellement nulle) et des éléments simples de première et seconde espèce. Ce qui ne sera pas le cas du premier membre si deg(P)> deg(Q).
Donc ce n'est pas toujours possible.
Sinon, si $deg P = deg(Q)$, il y a des solutions évidentes, ne serait-ce que P"=Q"=Q et P'=Q'=P/2. mais à quoi bon ?
Enfin, si $deg P < deg(Q)$, on peut reprendre cette décomposition et rajouter à P' un polynôme de même degré que P"=Q" et le soustraire à Q' :
$\frac 2{x^2+1}=\frac 1{x^2+1}+\frac 1{x^2+1}=\frac {1+x^2}{x^2+1}+\frac {1-x^2}{x^2+1}$
Cordialement.
C'est juste une idée, peut-être elle sera utile pour calculer les constantes sur la décomposition, je ne sais pas encore.
Et quand ils ont le même degré alors c'est évident qu'il y a déjà la solution : P/Q = P/Q +0/1 ... et plein d'autres aussi triviales ou non.
j'avais pensé comme toi, mais c'est faux ! Lis mon message ci-dessus. Avec même un exemple, où P et Q sont de degrés différents.
Cordialement.
\frac{ax^2+b}{cx^3+d} =\pm \frac{a'x^3+b'}{c'x^3+d'} \pm \frac{a'x^2+b'}{c'x^2+d'}
$$ ou $$
\frac{ax^3+b}{cx^2+d} =\pm \frac{a'x^3+b'}{c'x^3+d'} \pm \frac{a'x^2+b'}{c'x^2+d'}$$
si tu cherches des "trucs comme ça", tu commences par essayer toi-même, et tu vois tout de suite.
Quoique je me demande si tu es capable de chercher, quand je vois que tu continues à marquer bêtement les $\pm$ après que je t'aie fait remarquer qu'ils ne servent à rien (niveau classe de quatrième !!!).
Tu as cru avoir une idée "géniale", c'est une idée sans intérêt, n'insiste pas, tu ne ferais que témoigner du fait que tu ne comprends pas ce qu'on te dit.
:-S Donc, on ne peut pas recomposer une décomposition de sorte à avoir des fractions rationnelles de même degré. Ce jeu, sera utile dans les intégrales et le calcul de primitives.
Question : quelle serait l'utilité d'une telle décomposition ???
Reponse : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1774148,1774528#msg-1774528
Amicalement.
[Ne pas recopier le même message. Un lien suffit. AD]
Il n'y a pas mieux qu'un petit exemple pour comprendre.
On a : $$
\frac{x+1}{x+2} = 1-\frac{1}{x+2} ,
$$ à gauche l'intégrale est difficile, mais dans la droite non. (On m'a déjà dit que j'ai les idées foule dans le forum :-D )
Amicalement.
Elle est énorme celle-là...
Prenons la fraction $\quad \dfrac{x^2+1}{x+2} .$
Cette fraction peut s'écrire sous la forme $$x + \frac{1-2x}{x+2} ,$$ et voilà, on a remplacé notre fonction difficile à intégrer par la somme de 2 fonctions plus faciles à intégrer.
Oui très bien , je disais que l'exemple qui va faire comprendre un peu la situation .
Les étapes quand , tu as calculé ?
( pour ton premier message , on a modifier le message , ce que tu vois , c'est message modifier )
$ @ lourrran $
Oui , très jolie
Il me faut la méthode de calcule , pour que ce problème $CV$vers une limite $l$ :-D
je t'ai demandé à un moment l'utilité; tu as répondu "ça peut servir " ???? Tu te moques du monde. Et maintenant, tu donnes comme exemple une bâte décomposition en éléments simples, ce que tout le monde connaît.
Autrement dit, "ça peut servir" à compliquer la situation avant de faire la décomposition en éléments simples (ceux qu'on sait intégrer facilement).
C'est d'un niais !!!
Pire, dans l'exemple que je donnais, on avait déjà un élément simple !!!!
Au lieu de vouloir te mousser en venant ici dire "j'ai eu une idée", tu aurais dû réfléchir sérieusement à cette idée, comparer avec les méthodes classiques, voir que les fractions de même degré au numérateur et au dénominateur ne s'intègrent pas immédiatement (sauf les constantes), etc.
Maintenant, tout le monde sait que tes idées sont inabouties, inutiles et irréfléchies !! Belle contre publicité !
Cordialement.
D'abord je ne me moques pas du monde , cinq années sur ce forum , je n'ai jamais , dis au même faire croire a quelqu'un , je me moques de lui .Tu sais, je me ne bats pas avec une personne même si il m'insulte ( cela veux dire que suis une personne faible peut-être , on sais jamais ).
Je vous respect beaucoup , vous être sûrement plus âgée que me moi , chez nous ,on respect tout personnes plus âge que nous , Et on fait ce qu'ils nous disent .
Amicalement
Tyoussef