Endomorphisme<=>application linéaire dans Kev

Hob___
Hob___
dans Algèbre
Dans un $K$-e.v. $E$, endomorphisme est synonyme d'application linéaire. Mais pourquoi ?
Supposons $f$ un endomorphisme. $$

\forall (x,y)\in E^{2},\ f(x+y)=f(x)+f(y)
$$ car c'est un endomorphisme.
Mais pourquoi a-t-on : $$\forall x \in E,\ \forall \lambda \in K,\ f(\lambda.x)=\lambda f(x)\quad?$$

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Parce que c'est un endomorphisme [d'espaces vectoriels] !

    Un endomorphisme [d'espaces vectoriels] est précisément une application linéaire dont l'espace d'arrivée est égal à l'espace de départ.

    Une application linéaire est une application telle que : \begin{align*}
    \forall (x,y)\in E^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)\;;\\
    \forall (\lambda,x)\in K\times E,\ f(\lambda x)=\lambda f(x).\end{align*}
  • Ramufasa
    Ramufasa
    En fait je pense que tu as vu la notion de morphisme de groupes avant d'étudier un cours d'algèbre linéaire (c'est ça ?).

    Si c'est le cas, il faut bien comprendre que d'une manière générale, dès que tu disposes de deux espaces munis d'une certaine structure, alors un morphisme est une application entre ces deux espaces qui "respecte" la structure. Un endomorphisme est un morphisme dont l'espace d'arrivée est égal à l'espace de départ. Entre deux espaces vectoriels, une application qui "respecte" la structure est une application linéaire. Ce qui devrait répondre à ta question.
  • Hob___
    Hob___
    Ca ne répond pas trop à ma question Ramufasa même si je comprends ce point de vue 'qualitatif'; en revanche d'après la réponse de Maths Coss, si je comprends bien, c'est uniquement le vocabulaire qui est "mauvais". On devrait plutôt dire endormophisme-linéaire pour les K-ev car c'est ce que désigne 'endomorphisme'.

    Je pensais que la deuxième propriété étaient conséquence des axiomes définissant un K-ev mais si c'est uniquement le vocabulaire... d'accord.
  • Amathoué
    Amathoué
    Au contraire, je trouve que Ramufasa répond très bien à ta question Hob__!
  • Hob___
    Hob___
    Alors disons qu'il y répond bien mais que je ne comprends pas ce que signifie "une application qui respecte la structure".
  • Math Coss
    Math Coss
    « Respecter la structure », quand la structure est une opération (interne comme la somme ou externe comme le produit), cela veut dire que l'on peut faire l'opération avant ou après avoir appliqué le morphisme :
    • la relation $f(x+y)=f(x)+f(y)$ signifie que si on fait la somme $x+y$ et que l'on applique $f$ après, on obtient le même résultat que si l'on applique $f$ à $x$ et à $y$ et que l'on calcule la somme après ; en bref : l'image de la somme est la somme des images ;
    • la relation $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ signifie que si on fait le produit $\lambda x$ et que l'on applique $f$ après, on obtient le même résultat que si l'on applique $f$ à $x$ et que l'on calcule le produit $\lambda f(x)$ après ; en bref : l'image du produit (d'un scalaire par un vecteur) est le produit de (du scalaire par) l'image (du vecteur).
    Pour résumer, pour reprendre une formule de Claude, je crois : la compatibilité, c'est une phrase de la forme « le machin de l'image est égal à l'image du machin » ou, encore plus généralement, « le machin du truc est égal au truc du machin ».
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Hob__.

    Ce qui a gêné ta compréhension, c'est que tu as vu le mot "endomorphisme" dans un cas très particulier. On aurait dû te dire "endomorphisme de groupes". Mais comme on n'étudiait que les groupe, on a abrégé. De la même façon, quand on ne travaille que sur les espaces vectoriels, on ne dit pas "endomorphisme d'espace vectoriel", on abrège en "endomorphisme".
    Si tu fais des études de maths, tu n'as pas fini de rencontrer des morphismes, chaque fois qu'on te définira une structure. Et avec le même type de vocabulaire (endomorphisme, isomorphisme). Et tu en as déjà rencontrés, qu'on n'a pas appelés ainsi : les fonctions numériques croissantes sont des endomorphismes de $(\mathbb R,\ge)$, la structure naturelle d'ordre des réels (des endomorphismes d'ordre) : $\forall (a,b) \in \mathbb R^2,\ a\le b \Rightarrow f(a)\le f(b)$ dit bien que $f$ "respecte la structure d'ordre", conserve l'ordre.

    Cordialement.
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est ça, c'est un problème d'implicite.
    Si on parle de groupes, un endomorphisme est un morphismes de groupes dont les groupes de départ et d'arrivée coïncident.
    Si on parle d'espaces vectoriels, un endomorphisme est une application linéaire dont les espaces de départ et d'arrivée coïncident.
    Si on parle d'anneaux, un endomorphisme est un morphisme d'anneaux dont les anneaux de départ et d'arrivée coïncident.

    Et si on parle de $\R[X]$, qui est à la fois un groupe, un espace vectoriel et un anneau (et une algèbre) ? Eh bien, il faut préciser de quoi on parle. Par exemple, la dérivation $P\mapsto P'$ est un morphisme de groupes et une application linéaire mais pas un morphisme d'anneaux. Etc.

    Note que l'évidence selon laquelle toute application linéaire $f$ est un morphisme de groupes permet d'utiliser avec les espaces vectoriels le critère très commode : $f$ injective SSI $\ker f=\{0\}$.
  • Hob___
    Hob___
    D'accord, merci à tous pour ces précieuses informations.
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