Équation méchante

AitJoseph
AitJoseph
dans Algèbre
Résoudre dans R :
X^2 + ( X^2/ ( 1+ X)^2)= 3
/ Quotient.

Réponses

  • michael
    michael
    Ce n'est pas une équation.
  • Eric
    Eric
    Une équation est une égalité ...
  • AitJoseph
    AitJoseph
    Oh ! Pardon.
    Le second membre = 3
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour

    La principale difficulté est de factoriser pour aboutir à
    ((x - 1) x - 1) (x (x + 3) + 3) = 0
    et se ramener ainsi à du second degré (en or)

    Cordialement
  • Dom
    Dom
    J'essaye d'y voir plus clair...

    $$X^2 + \frac{X^2}{(1+X)^2}= 3$$
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour, 
    format long

syms x

f=x^2+x^2/(1+x)^2-3;
Eq=numden(f);
roots(sym2poly(Eq))
    Résultat: 
      1.618033988749896 + 0.000000000000000i
 -1.499999999999999 + 0.866025403784438i
 -1.499999999999999 - 0.866025403784438i
 -0.618033988749895 + 0.000000000000000i

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit; Merci, Dom, j'ai corrigé.

    Edit2: maintenant, ça ressemble à du connu, du $\dfrac{\pi}{3}$ et du nombre d'or.
  • Dom
    Dom
    Bonjour Rescassol,

    C'est un "+" et non un "-" devant le quotient des carrés.

    Cordialement

    Dom
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tant qu'à utiliser un ordinateur :
    In 
    R.<X>=PolynomialRing(ZZ,'X')
F=X^2 + ( X^2/ ( 1+ X)^2) - 3
F.numerator().factor()
    Out 
    (X^2 - X - 1) * (X^2 + 3*X + 3)
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce n'est pas très marrant mais on peut procéder ainsi :
    • réduire au même dénominateur donne l'équation équivalente $\dfrac{x^4+2x^3-x^2-6x-3}{(x+1)^2}=0$ (sous-entendu : $x\ne-1$, par exemple $x$ indéterminée) ;
    • le test des racines rationnelles montre que si $p/q$ (fraction irréductible avec $p\in\Z$ et $q\in\N^*$) est solution, alors $q=1$ et $p\mid 3$ ; on vérifie que ni $\pm1$, ni $\pm3$ ne sont racines ;
    • il en résulte que dans $\R[x]$, le numérateur se factorise sous la forme $(x^2+ax+b)(x^2+a'x+b')$ ; on écrit le système correspondant ; un peu de wishful thinking$^1$ incite à chercher des solutions entières, ce qui laisse peu de marge vu que $bb'=-3$, d'où la factorisation ; pis sinon, ben, on bourrine un peu plus...

    $^1$ vœux pieux.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Oui, GaBuZoMeu, j'avais fait $Eq=Factor(Eq)$ avant que Dom ne me signale mon erreur de signe, et ça n'avait rien donné. J'ai oublié de le refaire après correction.

    Cordialement,

    Rescassol
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    Gabu a donné la bonne factorisation de l'équation du 4ème degré

    qui émerge de l'équation initiale avec x différent de 0 et - 1 et $-\sqrt{3}< x < \sqrt{3}$ soit :

    $x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 = (x^2 - x - 1)(x^2 + 3x + 3) = 0$ d'où :

    2 racines réelles : $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$

    et 2 racines complexes conjuguées : $-\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $-\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

    cordialement
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @jean lismonde : aucune des racines que tu as données n’est correcte. Les polynômes sont les bons donc il faut faire attention à la résolution.
  • AP
    AP
    Bonsoir
    toujours plus facile lorsqu'on a vu la solution...
    $x^2+\frac {x^2}{(1+x)^2} =3$
    s'écrit
    $(\frac{x^2}{x+1})(x+1+\frac{1}{x+1})=3$
    $(\frac{x^2}{x+1})(\frac{x^2+2(x+1)}{x+1})=3$
    et
    $\frac{x^2}{x+1}$ est solution de $y(y+2)=3$
    donc est égal à $1$ ou $-3$.
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