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Isomorphisme de groupes

Envoyé par Link 
Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
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Bonjour

Si on connaît (à isomorphisme près) $H$, qui est un sous-groupe distingué de $G$, et $G/ H$, peut-on retrouver (à isomorphisme près) $G$ ? Intuitivement $G$ doit être isomorphe à quelque chose comme le produit direct de $H$ et $G/ H$ ...



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Isomorphisme
il y a huit mois
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Bonsoir,

Si je ne m'abuse, on a la suite exacte suivante : $ 0 \to H = \ker \pi \to G \to G / H \to 0 $ qui n'est scindée que si la catégorie des groupes est abélienne. À ma connaissance, seule la catégorie des groupes abéliens qui est une catégorie abélienne, mais pas la catégorie des groupes. Non ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Isomorphisme
il y a huit mois
@Link : Remarque préliminaire : $G\setminus H$, c'est « $G$ privé de $H$ ». Apparemment, tu veux parler de $G/H$, le quotient de $G$ par $H$, sans quoi il n'y a aucune raison de parler de produit.

Enfin, qu'importe, la réponse est non : la donnée de $H$ et du quotient $G/H$ ne détermine pas le groupe $G$. Par exemple, il y a (au moins) trois groupes d'ordre $8$ qui ont un sous-groupe normal cyclique d'ordre $4$ et un quotient d'ordre $2$ :
  • $G=\Z/4\Z\times\Z/2\Z$, $H=\Z/4\Z\times\{0\}$ ;
  • le groupe diédral $G=D_4$ (isométries qui préservent un carré ou groupe engendré, dans $\mathfrak{S}_4$, par $(1,2,3,4)$ et $(1,3)$), $H=$ rotations ou groupe engendré par $(1,2,3,4)$ ;
  • groupe quaternionique $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ avec $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, $H=\{\pm1,\pm i\}$.
Le premier est un produit direct, le second un produit semi-direct, le troisième ni l'un ni l'autre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Math Coss.
AD
Re: Isomorphisme
il y a huit mois
avatar
Bonsoir
Pour compléter le message de Math Coss, avec un exemple d'ordre plus petit.

Si $H=\Z/2\Z$ et $G/H=\Z/2\Z$, tu as la suite exacte courte $$
\{0\}\to \Z/2\Z \to G\to \Z/2\Z\to \{0\}
$$ Tu peux avoir $G=\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est un produit direct,
ou bien $G=\Z/4\Z$ qui n'est ni produit direct ni produit semi-direct.

Alain
Re: Isomorphisme
il y a huit mois
Pablo : à nouveau, arrête d'essayer d'utiliser des mots compliqués pour des questions si simples, surtout quand tu utilises mal les mots compliqués.

Link : Comme MathCoss l'a indiqué, la réponse est non.

En fait la question que tu poses est "est-ce qu'il y a un seul groupe - à isomorphisme près - $G$ qui peut se trouver dans une suite exacte $1\to H\to G\to K\to 1$ ? " (c'est une reformulation savante de $G/H=K$), et la réponse est non : tu as produits directs, produits semi-directs, autres trucs. On dit que $G$ est une extension de $K$ par $H$.
L'exemple le plus simple "d'autre truc" (encore plus simple que ceux de Math Coss grinning smiley) est le problème des extensions de $\Z/2\Z$ par $\Z/2\Z$. Tu as, comme tu l'indiques, le produit direct, mais tu as aussi $\Z/4\Z$, qui n'est ni un produit direct ni un produit semi-direct. (EDIT : grillé par Alain)
Plus généralement, étant donnés $K$ et $H$, le problème de classifier les extensions de $K$ par $H$ est très compliqué.

On a tout de même des résultats partiels intéressants: par exemple, le théorème de Schur-Zassenhaus affirme que si $|K|$ et $|H|$ sont premiers entre eux, alors toute extension de $K$ par $H$ est scindée, c'est-à-dire (de manière équivalente) est un produit semi-direct $H\rtimes K$. Avec plus d'informations (si par exemple tu sais que ton extension est abélienne, ou si tu sais qu'elle est centrale, ou si tu connais l'action de $K$ sur $H$ etc.etc.) cela peut permettre de retrouver totalement l'extension.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Isomorphisme
il y a huit mois
avatar
Pour votre culture :
En complétant l'exemple de Alain, on dit, dans ce cas que : $ \mathrm{Ext}^1 ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} , \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} ) \neq \{ 0 \} $. Non ? smiling smiley

Edit : Croisement avec le message de Maxtimax.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Merci pour vos réponses, c'est très enrichissant.

En fait, je me suis posé cette question après avoir entendu parler du théorème de classification des groupes simples finis. J'ai donc pensé que si il était possible d'obtenir $G$ comme produit direct de $H$ et $G/H$ (ou par une autre construction analogue), alors on aurait un "algorithme" permettant de générer tous les groupes finis de la façon suivante.

On poserait $E_0$ l'ensemble de tous les groupes simples finis qui est bien connu (on prend pour ensembles sous-jacents des intervalles $[[1,n]]$ de $\N$). $E_0$ est bien un ensemble.

Ensuite on construirait l'ensemble $E_{n+1}$ à partir de $E_n$ en ajoutant à ce dernier les produits directs (ou d'autre produits comme les produits semi-directs). Si je ne m'abuse, ceci aurait permis d'obtenir tous les groupes finis. Mais d'après Maxtimax, ceci ne marcherait pas à cause du problème de l'extension, les produits directs et semi-directs ne suffisent pas pour retrouver le groupe original.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
Link : oui tu as bien compris; d'ailleurs je m'étais fait la même réflexion il y a quelques années en apprenant l'existence de la classification des groupes finis simples : je me disais que du coup on connait tous les groupes finis, mais il y a ce problème d'extension qui "gâche tout".

Moralement, la classification des groupes finis c'est deux choses : la classification des groupes finis simples, et la résolution du problème de l'extension. Groupes finis simples, "c'est bon", extension : on a encore du chemin grinning smiley (tu as vu que c'est plus compliqué que produit semi-direct/direct même pour des groupes cycliques, alors pour des groupes quelconques...)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Bonjour,

Si je peux me permettre, comment vous définissez la notion de classification des groupes finis de manière théorique ?.
Dans la classification des groupes finis comme vous le dites, où est le classifiant, où est le foncteur de classification si on mime par exemple un problème de classification par un moduli space ? Quelle est la différence ?
Pour la classification des groupes et algèbres de Lie simple, ou bien la classification des groupes finis, on dresse un tableau d'objets en nombre finis, telle que tout groupe ou tout autre objet de la catégorie s'obtient comme construction à isomorphisme près en fonction de ses objets élémentaires de la liste, non ? Pourquoi cette classification ne correspond pas à un moduli problem ?

Merci d'avance.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
Pour les groupes finis simples, les experts qui ont proclamé que la preuve est correcte ne sont plus en activité, il est probable qu'au plus deux ou trois d'entre eux ont jamais eu une idée complète de la preuve et sans doute qu'aucun n'a vérifié tous les détails. Je pense qu'on peut dire que personne ne la comprend aujourd'hui.

Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
La classification des groupes finis aura pour conséquence la résolution du problème inverse de Galois.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
Ça n'a rien à voir avec le problème inverse de Galois. Je ne ferai pas de commentaire sur cette histoire de foncteur de classification...
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Citation
Poirot
Ça n'a rien à voir avec le problème inverse de Galois.

Pourquoi tu me contredis Poirot ? As tu au moins lu l'énoncé du problème de Galois pour saisir pourquoi ça porte sur la classification des groupes finis ?

Citation
Poirot
Je ne ferai pas de commentaire sur cette histoire de foncteur de classification...

Pourquoi ?
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Pablo:

La classification est à isomorphisme près.


Soit $n\geq 1$ un entier naturel.


1) l'ensemble des nombres complexes $w_n=\exp\left(\frac{2ik\pi}{n}\right)$ avec $k$ entier qui varie de $0$ à $n-1$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe fini.

2) $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ est un groupe.

Ces deux groupes sont isomorphes et leur ordre est $n$

A isomorphisme près, c'est le même groupe. Ils comptent pour "un".

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
Le problème inverse de Galois est (dans sa version la plus simple) de savoir quels sont les groupes finis qui sont groupe de Galois d’extensions sur $\mathbb Q$. Rien à voir avec le fait de donner une liste de tous les groupes finis à isomorphisme près.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Oui, j'ai lu ça : [www.les-mathematiques.net] et il semble que le problème est plus compliqué que ce que l'on peut imaginer. Il faut pouvoir classifier aussi les extensions de groupes.
Qu'entend Jobhertz par son passage qui dit :
- tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples.
- les extensions d'un groupe sont en général elle même très difficile à classifier.
- les groupes simples permettent de décrire, de fabriquer tous les groupes pr extensions successives.
?

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Pablo:

Un groupe simple, par définition, ne possède que deux sous-groupes distingués: lui-même et le sous-groupe trivial.

Pourquoi s'intéresser à ces groupes?

On a, en particulier,

Si on a un homomorphisme (quelconque) de groupes, de $M$ vers $N$ (deux groupes finis)
Le noyau de l'homomorphisme est un sous-groupe distingué de $M$.
Si $M$ est un groupe simple cela signifie que ce noyau est soit le sous-groupe trivial, soit le groupe M tout entier.

Dans le cas où le noyau est trivial cela signifie que l'homomorphisme est injectif: ce qui veut dire qu'il y a une "copie" de M dans N.

Si le noyau n'est pas trivial c'est donc $M$ tout entier et dans ce cas-là l'homomorphisme est l'application qui consiste à envoyer tous les éléments de $M$ sur l'élément neutre du groupe $N$.

Il n'y a pas d'autres possibilités.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
Math Coss écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------
> Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte
> stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux
> groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée
> nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».

Ce qu'il ne faut pas lire. La théorie des groupes (même finis) n'a jamais été aussi vivante. Tu devrais prévenir Rouquier, Paris, Digne et des centaines d'autres qu'ils sont en train de bosser dans un domaine stérilisé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
avatar
Il y a vraiment encore beaucoup d'activité autour des groupes finis ? Je me tiens au courant des articles mis en ligne sur arxiv dans la rubrique dédiée à la théorie des groupes, et je n'ai pas l'impression d'y voir passer beaucoup d'articles sur les groupes finis. Mais c'est peut-être parce que je m'intéresse surtout aux groupes infinis.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
@Pablo : "tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples" provient de l'existence (évidente) d'une suite de Jordan-Hölder pour tout groupe fini, c'est-à-dire d'une famille $G_0 \subset G_1 \subset \dots \subset G_n = G$ de sous-groupes du groupe fini $G$ telle que chaque $G_i$ est distingué dans $G_{i+1}$, et le quotient $G_{i+1}/G_i$ est simple.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a huit mois
@Joaopa : Rouquier, Paris ou Digne travaillent le plus souvent sur des groupes finis associés à des groupes algébriques ou variantes ou extensions (groupes de Coxeter, groupes de réflexions complexes, groupes de tresses, spetses) qui sont très loin des groupes finis généraux. À ma connaissance, ils n'utilisent jamais la classification des groupes finis simples. Ce n'est pas de ce types de travaux que je veux parler.

Je peux reformuler : la classification a eu pour conséquence de transformer la recherche sur certaines conjectures portant sur les groupes finis généraux en une vérification au cas par cas, au détriment des idées générales qui les ont fait naître.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Math Coss.
Re: Isomorphisme de groupes
il y a cinq mois
S il vous plait ça signifie quoi isomorphisme pres
Re: Isomorphisme de groupes
il y a cinq mois
Ça veut dire qu'au sens de la théorie des groupes, on préfère identifier des groupes différents mais qui sont isomorphes plutôt que de les voir comme des objets différents. Par exemple, il existe clairement une infinité (même une classe propre) de groupes à deux éléments : prendre n'importe quel ensemble à deux éléments $\{x,y\}$ et définir la loi $*$ vérifiant $x*x=x, x*y=y y*x=y, y*y=x$. Il ne sert à rien de faire la distinction entre eux du point de vue de la théorie des groupes, on préférera parler du groupe à deux éléments, toute propriété "groupiste" vérifiée pour l'un l'étant pour tous les autres.
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