Si on connaît (à isomorphisme près) $H$, qui est un sous-groupe distingué de $G$, et $G/ H$, peut-on retrouver (à isomorphisme près) $G$ ? Intuitivement $G$ doit être isomorphe à quelque chose comme le produit direct de $H$ et $G/ H$ ...
Si je ne m'abuse, on a la suite exacte suivante : $ 0 \to H = \ker \pi \to G \to G / H \to 0 $ qui n'est scindée que si la catégorie des groupes est abélienne. À ma connaissance, seule la catégorie des groupes abéliens qui est une catégorie abélienne, mais pas la catégorie des groupes. Non ?
@Link : Remarque préliminaire : $G\setminus H$, c'est « $G$ privé de $H$ ». Apparemment, tu veux parler de $G/H$, le quotient de $G$ par $H$, sans quoi il n'y a aucune raison de parler de produit.
Enfin, qu'importe, la réponse est non : la donnée de $H$ et du quotient $G/H$ ne détermine pas le groupe $G$. Par exemple, il y a (au moins) trois groupes d'ordre $8$ qui ont un sous-groupe normal cyclique d'ordre $4$ et un quotient d'ordre $2$ :
$G=\Z/4\Z\times\Z/2\Z$, $H=\Z/4\Z\times\{0\}$ ;
le groupe diédral $G=D_4$ (isométries qui préservent un carré ou groupe engendré, dans $\mathfrak{S}_4$, par $(1,2,3,4)$ et $(1,3)$), $H=$ rotations ou groupe engendré par $(1,2,3,4)$ ;
groupe quaternionique $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ avec $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, $H=\{\pm1,\pm i\}$.
Le premier est un produit direct, le second un produit semi-direct, le troisième ni l'un ni l'autre.
Bonsoir
Pour compléter le message de Math Coss, avec un exemple d'ordre plus petit.
Si $H=\Z/2\Z$ et $G/H=\Z/2\Z$, tu as la suite exacte courte $$
\{0\}\to \Z/2\Z \to G\to \Z/2\Z\to \{0\}
$$ Tu peux avoir $G=\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est un produit direct,
ou bien $G=\Z/4\Z$ qui n'est ni produit direct ni produit semi-direct.
Pablo : à nouveau, arrête d'essayer d'utiliser des mots compliqués pour des questions si simples, surtout quand tu utilises mal les mots compliqués.
Link : Comme MathCoss l'a indiqué, la réponse est non.
En fait la question que tu poses est "est-ce qu'il y a un seul groupe - à isomorphisme près - $G$ qui peut se trouver dans une suite exacte $1\to H\to G\to K\to 1$ ? " (c'est une reformulation savante de $G/H=K$), et la réponse est non : tu as produits directs, produits semi-directs, autres trucs. On dit que $G$ est une extension de $K$ par $H$.
L'exemple le plus simple "d'autre truc" (encore plus simple que ceux de Math Coss :-D) est le problème des extensions de $\Z/2\Z$ par $\Z/2\Z$. Tu as, comme tu l'indiques, le produit direct, mais tu as aussi $\Z/4\Z$, qui n'est ni un produit direct ni un produit semi-direct. (EDIT : grillé par Alain)
Plus généralement, étant donnés $K$ et $H$, le problème de classifier les extensions de $K$ par $H$ est très compliqué.
On a tout de même des résultats partiels intéressants: par exemple, le théorème de Schur-Zassenhaus affirme que si $|K|$ et $|H|$ sont premiers entre eux, alors toute extension de $K$ par $H$ est scindée, c'est-à-dire (de manière équivalente) est un produit semi-direct $H\rtimes K$. Avec plus d'informations (si par exemple tu sais que ton extension est abélienne, ou si tu sais qu'elle est centrale, ou si tu connais l'action de $K$ sur $H$ etc.etc.) cela peut permettre de retrouver totalement l'extension.
Pour votre culture :
En complétant l'exemple de Alain, on dit, dans ce cas que : $ \mathrm{Ext}^1 ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} , \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} ) \neq \{ 0 \} $. Non ? :-)
En fait, je me suis posé cette question après avoir entendu parler du théorème de classification des groupes simples finis. J'ai donc pensé que si il était possible d'obtenir $G$ comme produit direct de $H$ et $G/H$ (ou par une autre construction analogue), alors on aurait un "algorithme" permettant de générer tous les groupes finis de la façon suivante.
On poserait $E_0$ l'ensemble de tous les groupes simples finis qui est bien connu (on prend pour ensembles sous-jacents des intervalles $1,n$ de $\N$). $E_0$ est bien un ensemble.
Ensuite on construirait l'ensemble $E_{n+1}$ à partir de $E_n$ en ajoutant à ce dernier les produits directs (ou d'autre produits comme les produits semi-directs). Si je ne m'abuse, ceci aurait permis d'obtenir tous les groupes finis. Mais d'après Maxtimax, ceci ne marcherait pas à cause du problème de l'extension, les produits directs et semi-directs ne suffisent pas pour retrouver le groupe original.
Link : oui tu as bien compris; d'ailleurs je m'étais fait la même réflexion il y a quelques années en apprenant l'existence de la classification des groupes finis simples : je me disais que du coup on connait tous les groupes finis, mais il y a ce problème d'extension qui "gâche tout".
Moralement, la classification des groupes finis c'est deux choses : la classification des groupes finis simples, et la résolution du problème de l'extension. Groupes finis simples, "c'est bon", extension : on a encore du chemin :-D (tu as vu que c'est plus compliqué que produit semi-direct/direct même pour des groupes cycliques, alors pour des groupes quelconques...)
Si je peux me permettre, comment vous définissez la notion de classification des groupes finis de manière théorique ?.
Dans la classification des groupes finis comme vous le dites, où est le classifiant, où est le foncteur de classification si on mime par exemple un problème de classification par un moduli space ? Quelle est la différence ?
Pour la classification des groupes et algèbres de Lie simple, ou bien la classification des groupes finis, on dresse un tableau d'objets en nombre finis, telle que tout groupe ou tout autre objet de la catégorie s'obtient comme construction à isomorphisme près en fonction de ses objets élémentaires de la liste, non ? Pourquoi cette classification ne correspond pas à un moduli problem ?
Pour les groupes finis simples, les experts qui ont proclamé que la preuve est correcte ne sont plus en activité, il est probable qu'au plus deux ou trois d'entre eux ont jamais eu une idée complète de la preuve et sans doute qu'aucun n'a vérifié tous les détails. Je pense qu'on peut dire que personne ne la comprend aujourd'hui.
Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».
Ça n'a rien à voir avec le problème inverse de Galois.
Pourquoi tu me contredis Poirot ? As tu au moins lu l'énoncé du problème de Galois pour saisir pourquoi ça porte sur la classification des groupes finis ?
1) l'ensemble des nombres complexes $w_n=\exp\left(\frac{2ik\pi}{n}\right)$ avec $k$ entier qui varie de $0$ à $n-1$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe fini.
2) $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ est un groupe.
Ces deux groupes sont isomorphes et leur ordre est $n$
A isomorphisme près, c'est le même groupe. Ils comptent pour "un".
Le problème inverse de Galois est (dans sa version la plus simple) de savoir quels sont les groupes finis qui sont groupe de Galois d’extensions sur $\mathbb Q$. Rien à voir avec le fait de donner une liste de tous les groupes finis à isomorphisme près.
Oui, j'ai lu ça : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,697979,698525 et il semble que le problème est plus compliqué que ce que l'on peut imaginer. Il faut pouvoir classifier aussi les extensions de groupes.
Qu'entend Jobhertz par son passage qui dit :
- tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples.
- les extensions d'un groupe sont en général elle même très difficile à classifier.
- les groupes simples permettent de décrire, de fabriquer tous les groupes pr extensions successives.
?
Un groupe simple, par définition, ne possède que deux sous-groupes distingués: lui-même et le sous-groupe trivial.
Pourquoi s'intéresser à ces groupes?
On a, en particulier,
Si on a un homomorphisme (quelconque) de groupes, de $M$ vers $N$ (deux groupes finis)
Le noyau de l'homomorphisme est un sous-groupe distingué de $M$.
Si $M$ est un groupe simple cela signifie que ce noyau est soit le sous-groupe trivial, soit le groupe M tout entier.
Dans le cas où le noyau est trivial cela signifie que l'homomorphisme est injectif: ce qui veut dire qu'il y a une "copie" de M dans N.
Si le noyau n'est pas trivial c'est donc $M$ tout entier et dans ce cas-là l'homomorphisme est l'application qui consiste à envoyer tous les éléments de $M$ sur l'élément neutre du groupe $N$.
Math Coss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1776896,1777220#msg-1777220
> Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte
> stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux
> groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée
> nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».
Ce qu'il ne faut pas lire. La théorie des groupes (même finis) n'a jamais été aussi vivante. Tu devrais prévenir Rouquier, Paris, Digne et des centaines d'autres qu'ils sont en train de bosser dans un domaine stérilisé.
Il y a vraiment encore beaucoup d'activité autour des groupes finis ? Je me tiens au courant des articles mis en ligne sur arxiv dans la rubrique dédiée à la théorie des groupes, et je n'ai pas l'impression d'y voir passer beaucoup d'articles sur les groupes finis. Mais c'est peut-être parce que je m'intéresse surtout aux groupes infinis.
@Pablo : "tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples" provient de l'existence (évidente) d'une suite de Jordan-Hölder pour tout groupe fini, c'est-à-dire d'une famille $G_0 \subset G_1 \subset \dots \subset G_n = G$ de sous-groupes du groupe fini $G$ telle que chaque $G_i$ est distingué dans $G_{i+1}$, et le quotient $G_{i+1}/G_i$ est simple.
@Joaopa : Rouquier, Paris ou Digne travaillent le plus souvent sur des groupes finis associés à des groupes algébriques ou variantes ou extensions (groupes de Coxeter, groupes de réflexions complexes, groupes de tresses, spetses) qui sont très loin des groupes finis généraux. À ma connaissance, ils n'utilisent jamais la classification des groupes finis simples. Ce n'est pas de ce types de travaux que je veux parler.
Je peux reformuler : la classification a eu pour conséquence de transformer la recherche sur certaines conjectures portant sur les groupes finis généraux en une vérification au cas par cas, au détriment des idées générales qui les ont fait naître.
Ça veut dire qu'au sens de la théorie des groupes, on préfère identifier des groupes différents mais qui sont isomorphes plutôt que de les voir comme des objets différents. Par exemple, il existe clairement une infinité (même une classe propre) de groupes à deux éléments : prendre n'importe quel ensemble à deux éléments $\{x,y\}$ et définir la loi $*$ vérifiant $x*x=x, x*y=y y*x=y, y*y=x$. Il ne sert à rien de faire la distinction entre eux du point de vue de la théorie des groupes, on préférera parler du groupe à deux éléments, toute propriété "groupiste" vérifiée pour l'un l'étant pour tous les autres.
Réponses
Si je ne m'abuse, on a la suite exacte suivante : $ 0 \to H = \ker \pi \to G \to G / H \to 0 $ qui n'est scindée que si la catégorie des groupes est abélienne. À ma connaissance, seule la catégorie des groupes abéliens qui est une catégorie abélienne, mais pas la catégorie des groupes. Non ?
Enfin, qu'importe, la réponse est non : la donnée de $H$ et du quotient $G/H$ ne détermine pas le groupe $G$. Par exemple, il y a (au moins) trois groupes d'ordre $8$ qui ont un sous-groupe normal cyclique d'ordre $4$ et un quotient d'ordre $2$ :
- $G=\Z/4\Z\times\Z/2\Z$, $H=\Z/4\Z\times\{0\}$ ;
- le groupe diédral $G=D_4$ (isométries qui préservent un carré ou groupe engendré, dans $\mathfrak{S}_4$, par $(1,2,3,4)$ et $(1,3)$), $H=$ rotations ou groupe engendré par $(1,2,3,4)$ ;
- groupe quaternionique $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ avec $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, $H=\{\pm1,\pm i\}$.
Le premier est un produit direct, le second un produit semi-direct, le troisième ni l'un ni l'autre.Pour compléter le message de Math Coss, avec un exemple d'ordre plus petit.
Si $H=\Z/2\Z$ et $G/H=\Z/2\Z$, tu as la suite exacte courte $$
\{0\}\to \Z/2\Z \to G\to \Z/2\Z\to \{0\}
$$ Tu peux avoir $G=\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est un produit direct,
ou bien $G=\Z/4\Z$ qui n'est ni produit direct ni produit semi-direct.
Alain
Link : Comme MathCoss l'a indiqué, la réponse est non.
En fait la question que tu poses est "est-ce qu'il y a un seul groupe - à isomorphisme près - $G$ qui peut se trouver dans une suite exacte $1\to H\to G\to K\to 1$ ? " (c'est une reformulation savante de $G/H=K$), et la réponse est non : tu as produits directs, produits semi-directs, autres trucs. On dit que $G$ est une extension de $K$ par $H$.
L'exemple le plus simple "d'autre truc" (encore plus simple que ceux de Math Coss :-D) est le problème des extensions de $\Z/2\Z$ par $\Z/2\Z$. Tu as, comme tu l'indiques, le produit direct, mais tu as aussi $\Z/4\Z$, qui n'est ni un produit direct ni un produit semi-direct. (EDIT : grillé par Alain)
Plus généralement, étant donnés $K$ et $H$, le problème de classifier les extensions de $K$ par $H$ est très compliqué.
On a tout de même des résultats partiels intéressants: par exemple, le théorème de Schur-Zassenhaus affirme que si $|K|$ et $|H|$ sont premiers entre eux, alors toute extension de $K$ par $H$ est scindée, c'est-à-dire (de manière équivalente) est un produit semi-direct $H\rtimes K$. Avec plus d'informations (si par exemple tu sais que ton extension est abélienne, ou si tu sais qu'elle est centrale, ou si tu connais l'action de $K$ sur $H$ etc.etc.) cela peut permettre de retrouver totalement l'extension.
En complétant l'exemple de Alain, on dit, dans ce cas que : $ \mathrm{Ext}^1 ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} , \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} ) \neq \{ 0 \} $. Non ? :-)
Edit : Croisement avec le message de Maxtimax.
En fait, je me suis posé cette question après avoir entendu parler du théorème de classification des groupes simples finis. J'ai donc pensé que si il était possible d'obtenir $G$ comme produit direct de $H$ et $G/H$ (ou par une autre construction analogue), alors on aurait un "algorithme" permettant de générer tous les groupes finis de la façon suivante.
On poserait $E_0$ l'ensemble de tous les groupes simples finis qui est bien connu (on prend pour ensembles sous-jacents des intervalles $1,n$ de $\N$). $E_0$ est bien un ensemble.
Ensuite on construirait l'ensemble $E_{n+1}$ à partir de $E_n$ en ajoutant à ce dernier les produits directs (ou d'autre produits comme les produits semi-directs). Si je ne m'abuse, ceci aurait permis d'obtenir tous les groupes finis. Mais d'après Maxtimax, ceci ne marcherait pas à cause du problème de l'extension, les produits directs et semi-directs ne suffisent pas pour retrouver le groupe original.
Moralement, la classification des groupes finis c'est deux choses : la classification des groupes finis simples, et la résolution du problème de l'extension. Groupes finis simples, "c'est bon", extension : on a encore du chemin :-D (tu as vu que c'est plus compliqué que produit semi-direct/direct même pour des groupes cycliques, alors pour des groupes quelconques...)
Si je peux me permettre, comment vous définissez la notion de classification des groupes finis de manière théorique ?.
Dans la classification des groupes finis comme vous le dites, où est le classifiant, où est le foncteur de classification si on mime par exemple un problème de classification par un moduli space ? Quelle est la différence ?
Pour la classification des groupes et algèbres de Lie simple, ou bien la classification des groupes finis, on dresse un tableau d'objets en nombre finis, telle que tout groupe ou tout autre objet de la catégorie s'obtient comme construction à isomorphisme près en fonction de ses objets élémentaires de la liste, non ? Pourquoi cette classification ne correspond pas à un moduli problem ?
Merci d'avance.
Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».
Pourquoi tu me contredis Poirot ? As tu au moins lu l'énoncé du problème de Galois pour saisir pourquoi ça porte sur la classification des groupes finis ?
Pourquoi ?
La classification est à isomorphisme près.
Soit $n\geq 1$ un entier naturel.
1) l'ensemble des nombres complexes $w_n=\exp\left(\frac{2ik\pi}{n}\right)$ avec $k$ entier qui varie de $0$ à $n-1$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe fini.
2) $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ est un groupe.
Ces deux groupes sont isomorphes et leur ordre est $n$
A isomorphisme près, c'est le même groupe. Ils comptent pour "un".
Qu'entend Jobhertz par son passage qui dit :
- tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples.
- les extensions d'un groupe sont en général elle même très difficile à classifier.
- les groupes simples permettent de décrire, de fabriquer tous les groupes pr extensions successives.
?
Merci d'avance.
Un groupe simple, par définition, ne possède que deux sous-groupes distingués: lui-même et le sous-groupe trivial.
Pourquoi s'intéresser à ces groupes?
On a, en particulier,
Si on a un homomorphisme (quelconque) de groupes, de $M$ vers $N$ (deux groupes finis)
Le noyau de l'homomorphisme est un sous-groupe distingué de $M$.
Si $M$ est un groupe simple cela signifie que ce noyau est soit le sous-groupe trivial, soit le groupe M tout entier.
Dans le cas où le noyau est trivial cela signifie que l'homomorphisme est injectif: ce qui veut dire qu'il y a une "copie" de M dans N.
Si le noyau n'est pas trivial c'est donc $M$ tout entier et dans ce cas-là l'homomorphisme est l'application qui consiste à envoyer tous les éléments de $M$ sur l'élément neutre du groupe $N$.
Il n'y a pas d'autres possibilités.
> Ce que regrettent certains experts de maintenant, c'est que la classification ait en quelque sorte
> stérilisé le domaine. Pour vérifier certaines conjectures, la mode consiste à les réduire aux
> groupes finis pour faire une vérification au cas par cas. L'effet serait qu'il n'y a plus d'idée
> nouvelle avec une portée générale depuis bien un certain temps dans les groupes finis « généraux ».
Ce qu'il ne faut pas lire. La théorie des groupes (même finis) n'a jamais été aussi vivante. Tu devrais prévenir Rouquier, Paris, Digne et des centaines d'autres qu'ils sont en train de bosser dans un domaine stérilisé.
Je peux reformuler : la classification a eu pour conséquence de transformer la recherche sur certaines conjectures portant sur les groupes finis généraux en une vérification au cas par cas, au détriment des idées générales qui les ont fait naître.