Trinôme du second degré

La remarque de Félix est pertinente. Imaginons que l'équation ne soit pas déjà sous forme factorisée, il semble inconcevable de demander à des lycéens d'aujourd'hui d'effectuer une résolution d'équation de la forme $(ax+b)^2 - c = 0$, donc on préfère leur apprendre à "faire delta" puis "$f$ est du signe de $a$ en dehors des racines", c'est plus simple de réciter des choses toutes prêtes plutôt que réfléchir.

Mes $a, b$ et $c$ ne correspondent pas aux coefficients du trinôme de départ, attention, c'était simplement pour donner la forme générale d'une forme canonique.

Si le but est seulement de résoudre une équation du second degré la forme canonique n'est pas obligatoire. Si le but est de dresser le tableau de variation alors oui effectivement la forme canonique est obligatoire ( ou plutôt les coordonnées de S et le signe de a ).
Je rappelle que je ne suis pas prof mais si je l'étais je conseillerais d'appliquer cet "algorithme" à mes élèves de seconde pour résoudre une équation du second degré:
Etape 1)
bien s'assurer qu'il s'agit d'une équation du second degré et pas du premier en développant les parties en X^2 qui ne doivent pas s'annuler (si ils s'annulent je développe et simplifie tout et direction premier degré)
Etape 2)
"Voir" si avec le raisonnement comme "une somme de positifs" ou "somme de négatifs" ne peut pas être égal à zéro" ou "un positif ou nul ne peut pas être égal à un négatif) on n'obtient pas déjà la réponse (je ne rentre pas dans le détail ici du positif ou nul) en insistant bien que cette étape ne doit JAMAIS être oubliée:
exemples: résoudre 2X^2+5=0

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) cette équation n'a pas de solution
2(X-4)^2+1=0

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) cette équation n'a pas de solution (pas besoin de développer...)
Sinon on passe à l'étape 3)
Etape 3)
on "passe" tout à gauche , on obtient du coup une équation du style ___________=0 (en rappelant le sens du terme "passer" dans ce cas)
Etape 4)
On factorise si possible par un facteur en commun (qui peut être "caché" dans les cas les plus difficiles ) puis/ou une identité remarquable (qui sera en général A^2-B^2), l'ordre des factorisations est importante si on ne veut se triturer avec des racines carrées sur des équations du style 2X^2-8....
On utile ensuite la relation (A)*(B)=0 équivaut à A=0 ou B=0 et on trouve les deux solutions
Si on n'arrive pas à factoriser on développe tout et on recommence les étapes 2/4 (si bien entendu il y a quelque chose à développer...)
Sinon on passe à l'étape 5:
Etape 5)
On trouve la forme canonique en trouvant le alpha avec la manière que chacun préfère (formule directe ou résolution de l'équation ax^2+bx+c=c et alpha=(x1+x2)/2 ) et on reprend les étapes 2/4...
Remarque : pour les élèves de première je remplace l'étape 5) par: on calcule le discriminant...(et pas avant!)

On cherche une base telle que le trinôme s’exprime : $X^2 + A$.
Dans le repère associé, l’axe des ordonnées est un axe de symétrie.

C’est en ce sens que je comprends « base canonique ».

Je n’ai pas d’avis réel sur ces termes là. Je tente de les comprendre.

« Canonique » a été tenté d’être défini dans un fil, disons d’environ un an, un peu moins.
On peut le rendre synonyme de « dans une bonne base » (sans que ce soit formel).

J’ai envie d’utiliser un autre mot : « intrinsèque ».

Forme « simplifiée » ne me semble pas idoine car c’est vrai que ça rend « simple » l’équation après le changement de base mais l’écriture formelle ne l’est pas de mon point de vue avec « toutes ces lettres » dont $b^2-4ac$ quelque part.

Pour moi c’est aussi ce que l’on appelle une réduction de Gauss. On retrouve ton idée de « simple » avec « réduction ».

Je ne pense pas que cette formulation (forme canonique) ait un age canonique .
Sait-on quand et par qui elle a été introduite ?