Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Trinôme du second degré
dans Algèbre
Bonjour,
Pourquoi ne pas résoudre une équation du second degré en commençant systématiquement par la mise sous forme canonique ?
Cela permet de :
-- voir s'il y a des racines et, si oui, les calculer ;
-- dresser le tableau de variations de la fonction ;
-- esquisser le tracé du graphe.
A+
Pourquoi ne pas résoudre une équation du second degré en commençant systématiquement par la mise sous forme canonique ?
Cela permet de :
-- voir s'il y a des racines et, si oui, les calculer ;
-- dresser le tableau de variations de la fonction ;
-- esquisser le tracé du graphe.
A+
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Réponses
Là, je ne comprends pas trop $(ax + b)^2 - c = 0$
Ce n'est pas plutôt :
\begin{align*}
ax^2 + bx + c = 0 &\Longleftrightarrow a \left(x^2 + \frac{b}{a} \times x + \frac{c}{a}\right) = 0 \\
ax^2 + bx + c = O &\Longleftrightarrow a \left(x^2 + \frac{b}{a} \times x\right) + \frac{c}{a} \\
ax^2 + bx + c = 0 &\Longleftrightarrow a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} - \left(\frac{b}{2a}\right)^2
\end{align*} Ah oui : en précisant $a\neq 0$ parce que dans le cas contraire c'est une droite et plus une parabole.
On utilise plus les lettres $\alpha$ à la place de c et $\beta$ à la place de b
Je rappelle que je ne suis pas prof mais si je l'étais je conseillerais d'appliquer cet "algorithme" à mes élèves de seconde pour résoudre une équation du second degré:
Etape 1)
bien s'assurer qu'il s'agit d'une équation du second degré et pas du premier en développant les parties en X^2 qui ne doivent pas s'annuler (si ils s'annulent je développe et simplifie tout et direction premier degré)
Etape 2)
"Voir" si avec le raisonnement comme "une somme de positifs" ou "somme de négatifs" ne peut pas être égal à zéro" ou "un positif ou nul ne peut pas être égal à un négatif) on n'obtient pas déjà la réponse (je ne rentre pas dans le détail ici du positif ou nul) en insistant bien que cette étape ne doit JAMAIS être oubliée:
exemples: résoudre 2X^2+5=0
) cette équation n'a pas de solution
2(X-4)^2+1=0
) cette équation n'a pas de solution (pas besoin de développer...)
Sinon on passe à l'étape 3)
Etape 3)
on "passe" tout à gauche , on obtient du coup une équation du style ___________=0 (en rappelant le sens du terme "passer" dans ce cas)
Etape 4)
On factorise si possible par un facteur en commun (qui peut être "caché" dans les cas les plus difficiles ) puis/ou une identité remarquable (qui sera en général A^2-B^2), l'ordre des factorisations est importante si on ne veut se triturer avec des racines carrées sur des équations du style 2X^2-8....
On utile ensuite la relation (A)*(B)=0 équivaut à A=0 ou B=0 et on trouve les deux solutions
Si on n'arrive pas à factoriser on développe tout et on recommence les étapes 2/4 (si bien entendu il y a quelque chose à développer...)
Sinon on passe à l'étape 5:
Etape 5)
On trouve la forme canonique en trouvant le alpha avec la manière que chacun préfère (formule directe ou résolution de l'équation ax^2+bx+c=c et alpha=(x1+x2)/2 ) et on reprend les étapes 2/4...
Remarque : pour les élèves de première je remplace l'étape 5) par: on calcule le discriminant...(et pas avant!)
Utiliser systématiquement une seule méthode quand on en a plusieurs est se fermer l'esprit, diminuer l'intelligence. Il y a un temps pour tout. Quand on débute sur les équations, on peut résoudre des équations du second degré qui "se factorisent bien", et on s'en souvient ensuite, parce que ça va vite. Quand j’avais encore des lycéens (et de bien meilleur niveau qu'actuellement), on faisait résoudre quelques équations du second degré non évidentes par la forme canonique. Simplement parce que les élèves apprenaient ensuite immédiatement les formules avec delta, et on avait le temps de voir aussi d'autres techniques (racines évidentes, ..).
Mais il est malsain d'exiger une technique délicate et lente quand on a une méthode efficace et rapide. On apprend les tables de multiplication, ça va plus vite que de compter sur ses doigts les additions successives.
Avec les élèves actuels, je n'ai pas d'expérience.
Cordialement
Pour résoudre une équation du second degré au lycée, pourquoi ne pas se ramener systématiquement à la résolution du trinôme normalisé (unitaire) associé ?
A+
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
j'ai été amené dans mon lointain cursus scolaire à utiliser la forme dite canonique sans qu'on lui ait donné ce nom là . Et depuis je n'ai toujours pas compris ce qu'elle avait de canon .
Les formes dites développées et factorisées ont une dénomination assez parlante . Mais le terme canonique n'éveille rien de précis pour moi .
Cordialement
Dans le repère associé, l’axe des ordonnées est un axe de symétrie.
C’est en ce sens que je comprends « base canonique ».
« Canonique » a été tenté d’être défini dans un fil, disons d’environ un an, un peu moins.
On peut le rendre synonyme de « dans une bonne base » (sans que ce soit formel).
J’ai envie d’utiliser un autre mot : « intrinsèque ».
Forme « simplifiée » ne me semble pas idoine car c’est vrai que ça rend « simple » l’équation après le changement de base mais l’écriture formelle ne l’est pas de mon point de vue avec « toutes ces lettres » dont $b^2-4ac$ quelque part.
Pour moi c’est aussi ce que l’on appelle une réduction de Gauss. On retrouve ton idée de « simple » avec « réduction ».
Cordialement.
Sait-on quand et par qui elle a été introduite ?