Un sous-espace vectoriel

Maxtimax
Maxtimax
dans Algèbre
J'ai un problème pour déterminer une forme un peu plus explicite d'un certain sous-espace vectoriel de $\mathbb{F}_2^k$.

Je note mes vecteurs $(\lambda_i), 0\leq i \leq k-1$

Je cherche à déterminer une forme un peu explicite du sous-espace défini par les conditions:
$\lambda_q = \lambda_{k-q}, 1\leq q \leq k-1$,
Pour $l< 2k$, $\displaystyle\sum_{q > l/2} \lambda_q \binom{2q}{l} + \lambda_0\binom{2k}{l}= 0$

Par "forme explicite" j'entends quelque chose comme "telles et telles coordonnées quelconques, telles et telles coordonnées fixées par telle formule".

Je serais déjà content de déterminer sa dimension, mais je pense que ça va revenir à ce que j'ai dit avant (on va exhiber une application linéaire qui sera un isomorphisme), à moins que je manque quelque chose.
Mon problème c'est naturellement les coefficients binomiaux, dont je connais mal la parité.

Il y a peut-être quelque chose d'évident que je ne vois pas mais je bugge un peu sur ce truc idiot en tout cas. Des idées ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Pour la parité des coefficients binomiaux, connais-tu le théorème de Lucas ? Il dit que si $a=\sum_{k=0}^ra_k2^k$ et $b=\sum_{k=0}^rb_k2^k$ avec les $a_k$ et les $b_k$ dans $\{0,1\}$, alors \[\binom{a}{b}\equiv\prod_{k=0}^r\binom{a_k}{b_k}\pmod{2}.\]
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Math Coss : j'en ai entendu parler, mais vu qu'ici j'ai très peu d'info sur les développements en base 2 c'est compliqué
  • Note
    Note
    Je pense que mon intervention est inutile mais pour la parité des coefficients binomiaux, on a grâce au théorème de Lucas : $$
    \binom{2k}{2k'+1} = 2k''$$ ainsi que $$\binom{2q}{q} = 2q'$$
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @Note : la première partie simplifie pas mal en fait, elle enlève tous les $l$ impairs. Et effectivement ça se déduit de Lucas parce que $b_0 = 1, a_0 = 0$, donc $\binom{a_0}{b_0} = 0$. Bizarrement ça me semble trop beau pour être vrai, mais c'est déjà ça
  • claude quitté
    claude quitté
    @Maxtimax
    Quand tu auras le temps (je comprends bien qu'avec l'autre qui vient nous chier dans les bottes, c'est pas facile de trouver du temps), pourras tu vérifier la conformité de ce qui vient (conformité à ta question). Cela va t'obliger à lire un peu de programmation, c'est toujours un peu cryptique.

    Ca, c'est le décor, tu peux sauter. Note : j'ai utilisé tes notations sauf $\lambda$ que j'ai remplacé par $x$ (plus commode pour moi) 
    [color=#000000]
> k := 6 ;
> A := PolynomialRing(F2,k) ;
> AssignNames(~A, ["x"*IntegerToString(i) : i in [0..k-1]]) ;
> A ;
Polynomial ring of rank 6 over GF(2)
Order: Lexicographical
Variables: x0, x1, x2, x3, x4, x5
> x := map < [0..k-1] -> A | q :-> A.(q+1) > ;
[/color]
    Le premier jeu d'équations 
    [color=#000000]
> // 1 <= q <= k-1. Mais on peut supposer q < k-q i.e. 2q < k
> EquationsI := [x(q) - x(k-q) : q in [1 .. k-1] | 2*q lt k] ; 
> EquationsI ;                                   
[
    x1 + x5,
    x2 + x4
]
[/color]
    Le second jeu d'équations. C'est surtout cela qu'il faut vérifier. 
    [color=#000000]
> equation := func < ell | &+[A| Binomial(2*q,ell)*x(q) : q in [1 + ell div 2 .. k-1]]  +  Binomial(2*k,ell)*x(0) > ;
> EquationsII := [equation(ell) : ell in [0..2*k-1]] ;
> EquationsII ;
[
    x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5,
    0,
    x3 + x5,
    0,
    x0 + x3,
    0,
    0,
    0,
    x0 + x5,
    0,
    0,
    0
]
> EquationsII := SetToSequence(SequenceToSet(EquationsII) diff {0}) ;
> EquationsII ;
[
    x0 + x3,
    x0 + x5,
    x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5,
    x3 + x5
]
[/color]
    La matrice du système et son rang 
    [color=#000000]
> M := Matrix(#EquationsI + #EquationsII, k, 
>          [[MonomialCoefficient(equation,x(q))  : q in [0..k-1]] : equation in EquationsI cat EquationsII]) ;
> M ;
[0 1 0 0 0 1]
[0 0 1 0 1 0]
[1 0 0 1 0 0]
[1 0 0 0 0 1]
[1 1 1 1 1 1]
[0 0 0 1 0 1]
> Rank(M) ;
4
[/color]
    J'ai une fonction de nom Maxtimax qui prend $k$ en données et qui retourne la matrice $M$. Voilà ce que cela donne pour $2 \le k \le 20$ 
    [color=#000000]
> time for k := 2 to 20 do <k,Rank(Maxtimax(k))> ; end for ;
<2, 1>
<3, 2>
<4, 3>
<5, 4>
<6, 4>
<7, 6>
<8, 6>
<9, 7>
<10, 8>
<11, 9>
<12, 9>
<13, 11>
<14, 11>
<15, 12>
<16, 13>
<17, 14>
<18, 14>
<19, 16>
<20, 16>
Time: 0.060
[/color]
    Est ce que cela aide ? Je n'en sais rien. Déjà, il faut que cela soit CONFORME.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Merci Claude pour le temps que tu y as passé (j'ai d'autres chats à fouetter que "l'autre" comme tu dis, et cet espace vectoriel est un de ces chats :-D), je ne comprends pas tout ton code par contre (faudrait que je me mette aux logiciels de calcul formel...)

    Je comprends ce que fait equationsI, le début de equationsII, puis je ne comprends pas l'ordre choisi mais ça ce n'est pas trop grave; et je viens de comprendre la matrice (je n'avais pas vu qu'il y avait equationsI aussi dedans du coup j'étais très perplexe, mais là c'est bon).

    Après je voulais plus le noyau de $M$, mais bon je suis une grande personne je sais déduire la dimension du noyau du rang :-D (mais en réalité, même si la dimension m'intéresse, ce que je cherche vraiment c'est une description plus explicite)
    ça m'aide un peu parce que ça me donne une idée de ce à quoi ressemblent ces dimensions; elles n'ont pas l'air très agréables..
  • Note
    Note
    Une autre formule pour les coefficients binomiaux surement moins utile mais si ça peut servir au cas ou pour les nombres pairs

    $\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \forall n \in \bigcup_{i=1}^{+ \infty} [2^k \times i;2^k \times i + 2^{k-1} - 1] \wedge \mathbb{N} $

    $$2 \mid \binom{2n}{2^k}$$

    J'ai des gros doutes sur les notations que j'utilise.
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