Stabilisateur de la conjugaison sous-groupe

Bonjour
Dans un premier temps j'explique le contexte de ma question.

En essayant des exercices sur les groupes dans le Lang, je suis tombé sur cet exercice à deux questions.
a) Prouver qu'un sous-groupe d'indice fini contient un sous-groupe distingué d'indice fini.
b) Prouver que l'intersection de deux sous-groupes d'indice fini est un sous-groupes d'indice fini.
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J'explique comment j'ai procédé.
La question "b" se fait toute seule si on raisonne en terme d'intersection de classes (disons à gauche) des deux sous-groupes, on obtient alors qu'il est majoré par le produit des deux indices (on peut aussi s'amuser à montrer que son indice est un multiple du ppcm des deux indices ...).

J'ai beaucoup plus galéré sur la première question, mais en fait, si on fait d'abord la deuxième, ça se passe plutôt bien, comme ça.
Nommons $G$ le groupe, $H$ le groupe d'indice fini, $\mathcal{H}$ l'ensemble des sous-groupes conjugués à $H$ (incluant naturellement $H$). On constate alors deux choses.
1) Chaque sous-groupe distingué contenu dans $H$ est dans son intersection avec ses conjugués, que je note $\cap \mathcal{H}$ et que ce dernier est lui-même distingué.
2) Le cardinal de $\mathcal{H}$ est fini, on peut en effet montrer qu'il est inférieur ou égal à l'indice de $H$ dans $G$ (il suffit de constater que deux éléments d'une même classe à gauche suivant $H$ "pointent sur le même conjugué de $H$").

De là, en utilisant un peu de récurrence et le résultat de la question "b" et on obtient que l'indice de $\cap \mathcal{H}$ est fini, qu'il est distingué contenu dans $H$.

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Ce qui m'a embêté dans l'énoncé et la question
Vous allez vous dire: "bon, il a résolu son problème, pourquoi il vient nous faire suer dans ce cas ?".
Il y a deux trucs qui me perturbent pas mal dans l'énoncé, d'abord le fait que la question "b" arrive après la "a", alors que, seule, elle passe comme une lettre à la poste et que j'ai eu besoin de ce résultat pour répondre à la question "a". Et puis surtout il y a une indication dans l'énoncé du "a" que je vous donne mot pour mot.

Serge Lang/ traduction : Christos Grammatikas a écrit:

Si (G : H) = n, trouver un homomorphisme de G dans $\sigma_n$ dont le noyau est contenu dans H.

Et là, c'est le drame, parce que moi, j'ai trouvé un homomorphisme de $G$ dans $\sigma_k$ où $k= \left| \mathcal{H} \right| ,$ où je le rappelle $\mathcal{H}$ est l'ensemble des sous-groupes conjugués de $H$ et $k$ est plus petit ou égal à $n$. Et le noyau de ce morphisme a plutôt cette tête-là: $\bigcap_{X\in \mathcal{H}} \mathcal{N}(X),$ où $\mathcal{N}(X)$ signifie "normalisateur du sous-groupe $X$".

Il est très possible que je n'ai rien compris à l'indication, mais il est aussi possible que c'est à peu près ce qu'on me demandait et dans ce cas, je suppose donc qu'il y a un lemme dont l'énoncé serait celui-ci.

Si un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ n'est pas distingué, alors l'intersection des normalisateurs de $H$ et de ses sous-groupes conjugués de $H$ est égal à l'intersection des sous-groupes conjugués à $H$ : $\bigcap_{X\in \mathcal{H}} \mathcal{N}(X)=\bigcap_{X\in \mathcal{H}} X$

Je sais qu'il me suffit pour cela de montrer que ce sous-groupe de $G$ que je nomme ici le stabilisateur de la conjugaison du sous-groupe $H$ est inclus dans $H$, mais je sèche complètement (et en plus, si je n'étais pas tombé sur cet énoncé, je me serais dit qu'a priori c'est faux, mais je n'ai pas une bonne intuition dans le domaine et une instruction limitée).

Si vous avez une idée sur la véracité de cet énoncé et de ce que pouvait bien signifier l'indication donné dans le livre, je serais super content de savoir ce que vous en pensez.
Merci d'avance pour toute réponse.

P.S: pour ceux qui ont la troisième édition en français "d'Algèbre" de Serge Lang, c'est l'exercice 1.9 (page 80).