Polynôme d'une matrice

Dans un fichier PDF, j'ai trouvé dans la correction d'un exercice que:

Soient $r$ et $s$ dans $\mathbb N^*,\ A \in M_{r,r} (\mathbb K)$ et $D \in M_{s,s} (\mathbb K)$ tels qu'on ait :
$$M=\left(\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}\right).$$
Si $P\in \mathbb K[X]$, alors on a:
$$P(M)=\left(\begin{array}{cc}P(A)&0\\ 0&P(B)\end{array}\right).$$
J'ai pensé donc que le résultat est vrai pour une matrice diagonale par blos, par suite j'ai posé la question sous quelle condition sur $A, B, C$ et $D$ on a le résulat est vrai pour toute matrice par blocs, car je sais qu'il n'est pas vrai en général, en effet juste pour: $A=a, B=b, C=c$ et $D=d$, on a
$$M^2=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+bd\\ca+dc&d^2+cb\end{array}\right)\neq \left(\begin{array}{cc}a^2&b^2\\c^2&d^2\end{array}\right).$$

@gerard0, Essayez d'être positif au lieu de rechercher les erreurs des autres. Donner un coup de main ou partir.

Merci @melpomène pour votre message et votre conseil (tu).