Corps de caractéristique 2

Non, qu'est-ce qui te fait penser ça ?
(il n'existe pas de corps qui vérifie ce que tu proposes, d'ailleurs)

Bonsoir arthurserres
La caractéristique se rapporte à l'addition.
Dans un corps de caractéristique 2, pour tout $a$ on a $2a=a+a=0$.
En caractéristique $p$, on a pour tout $a$, $pa=0$.
Alain

Ah ! c'est une autre question, et une très bonne question.
Il y a un théorème très connu qui est à la base de beaucoup de maths très cools : Pour tout premier $p$ et entier $n\geq 1$, il existe un corps de cardinal $p^n$. Il est automatiquement de caractéristique $p$; et deux tels corps sont isomorphes.

En particulier ça te donne toute une tripotée de corps de caractéristique $2$, notés $\mathbb{F}_{2^n}$ en général.

Mais en fait tu n'as pas besoin de ce théorème, tu as beaucoup plus simples : le corps des fractions rationnelles en une variable $\mathbb{F}_2(X)$, ou en plusieurs variables $\mathbb{F}_2(X_1,..,X_n)$ (tu peux aussi mettre une infinité de variables). Si tu es à l'aise avec les clôtures algébriques, tu peux aussi te rendre compte rapidement que $\mathbb{F}_2$ n'est pas algébriquement clos, et donc que sa clôture algébrique $\overline{\mathbb{F}_2}$ est un autre corps de caractéristique $2$

(tout ceci marche en caractéristique $p$)

Je te fais remarquer que ton idée de $x^2=x$ n'est pas idiote du tout (loin de là) parce que si ton corps a $2^n$ éléments, alors on n'a pas $x^2=x$ pour tout $x$, mais on a $x^{2^n}=x$ pour tout $x$

Bonjour,
la discussion m'intéresse beaucoup. Je me permets de m'y incruster pour tenter une réponse au dernier message. Les puissances de $a$ sont-elles $1$,$a$, $a+1$ et $1$ ?
Cordialement,
Mister Da

Alors, tant qu'on y est, profitons de ce que $1=-1$ pour noter $a+1=-j-1$.

Bonjour,
merci pour vos messages. Je suis friand de ce genre de petits exemples qui m'aident à mieux comprendre les définitions finalement.

Avant de me faire les dents sur le nouveau polynôme, j'aimerai être certain d'avoir compris la démarche. On considère un corps de caractéristique $p$ ici $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ qui est l'unique corps fini à 2 éléments de caractéristique $p=2$.

En suite, tout l'art consiste à trouver un polynôme bien senti qui n'est pas scindable ici $X^2+X +1$ n'a aucune racine dans le corps ou encore $X^3+1$ qui a seulement 1 racine ($1$) dans le corps. On rajoute les racines manquantes et on regarde si on a bien obtenu un nouveau corps et si c'est le cas on a un corps fini de caractéristique $2$ avec $4$ éléments. Est-ce que cela résume bien ?

Ici, est-ce que je peux dire que $1$, $a$ et $a+1$ sont les racines cubiques dans le corps ainsi construit (au même titre que $1$, $\jmath$ et $\bar\jmath$ sont les racines cubiques de l'unité dans le corps $\mathbb{C}$ ?

Merci par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da

L'inconvénient de $X^3+1$ par rapport à $X^2+X+1$, c'est qu'il n'est pas irréductible. Cependant, comme $X^3+1=(X + 1) (X^2 + X + 1)$, tous les deux conduisent à la même extension de $\mathbf{F}_2$.

Salut Mister Da,

Il est très dangereux le polynôme : $x^3+x+1$ :-D (c'est une blague !)

Qu'est ce que tu veux faire exactement avec ce polynôme ?

@Mister Da
Avec $x^3+x+1$ .

Ecris les puissances de $a$ en supposant que $a^3=a+1$ :
1
$a$
$a^2$
$a^3=a+1$
$a^4 = a\times a^3 = a(a+1) = a^2+a$
$a^5 = a\times a^4 = a(a^2+a) = a^3+a^2 = (a+1)+a^2$
Etc.

Par ailleurs, après le corps à $2^2=4$ éléments, il y a celui à $2^3=8$ éléments,
engendré par une racine $a$ d'un polynôme irréductible de degré 3 de $\mathbb{Z}_2[X]$.

Un polynôme de degré 3 est irréductible s'il n'a pas de facteur de degré 1 , càd. dans notre cas
s'il ne s'annule ni en 0 ni en 1 . En regardant les polynômes
$X^3+1$
$X^3+X+1$
$X^3+X^2+1$
$X^3+X^2+X+1$
on voit que le deuxième et le troisième conviennent, les autres pas.

On choisit $X^3+X+1$ (ou l'autre).
ETC.

Divise $X^3+X+1$ par $(X-a)(X-a^2)$, c-à-d par $X^2+(a^2+a)X+(a+1)$
(le terme constant est $a^3$).

... ou alors, connais-tu l'automorphisme de Frobenius ?

Mais quelle triple buse ! Je n'étais pas inspiré en me noyant dans des puissances modulo $7$... effectivement il y avait plein de manières de trouver la dernière racine, je suis honteux, donc si $a$ est une racine du polynôme $x^3+x+1$ les deux autres sont $a^2$ et $a^4$.

De même, si $b$ est une racine du polynôme $x^3+x+1$ les deux autres sont $b^2$ et $b^4$ étant donné que $(b^2)^3 = b^6 = b^2+b = b^2+b+1+1 = b^4+1 = (b^2)^2+1$.

Du coup (je n'ai pas encore vraiment justifié que les polynômes sont premiers entre eux, me suffit-il de dire que $a\neq b$ ?) nous nous retrouvons avec un corps de caractéristique $2$ à 14 éléments :
$
\{0,1, a, a^2, a+1, a^2+a, a^2+a+1, a^2 + 1, b, b^2, b^2+1, b^2+b+1, b+1, b^2 + b\}.
$

Est-ce bien cela ?
Cordialement,
Mister Da

$2^3=8=7+1$
+1 car il y a le 0 qui n'est pas une puissance de $a$.
Tes listes en $a$ et en $b$
sont une seule et même liste.

Si $a$, $a^2$ et $a^4$ sont les racines de $X^3+X+1$
Alors $a^3$, $a^6$ et $a^{12}=a^5$ sont les racines de ??

Je trouve que tu t'en tires très bien et apprends beaucoup
de choses en peu de temps.

Bonne nuit.

L'échange était sympatique.
A une autre fois, peut-être.

Mister Da,

Petite question (si t'es encore dedans) : Au départ, on a considéré le polynôme $P_j := X^2+X+1$ et ensuite le polynôme $P_a := X^3+X+1$. On a deux corps $\mathbb{F}_2[j]$ et $\mathbb{F}_2[a]$. Le premier est de cardinal $4$ et le second et de cardinal $8$.

Est-ce que $P_j$ possède une racine dans $\mathbb{F}_2[a]$ ? Est-ce que $P_a$ possède une racine dans $\mathbb{F}_2[j]$ ? Qu'est-ce qu'il se passe si je fais $\mathbb{F}_2[j][a]$ ?