Un nouveau problème de polynômes

Racines entières? Tu veux dire que le polynôme P a toutes ses racines qui sont des entiers (naturels?) ?.

Puisque$ P(0)=0$ il est clair que $x_1,x_2,x_3,....,x_n$ sont des racines du polynôme $P(P(X))$

Bah non, pour tout $i$, $P(x_i)=0=x_1$ par hypothèse.

Je suppose que les racines $0;x_2;\dots ; x_n$ sont distinctes. Soit $m$ une racine entière de $P\circ P$ qui n'est pas racine de $P$.

Disons $P(m)=x_2$, alors $x_2=km(m-x_2) \dots (m-x_n)$.

On a $m|x_2$ donc $m|x_2-m$. En outre $m-x_2|x_2$ donc $m-x_2|m$.

On en déduit $m-x_2=m\quad $ ou $\quad m-x_2=-m$

premier cas : on trouve $x_2=0$, c'est impossible.

deuxième cas : ici $x_2=2m$ et $2m=km(-m)(m-x_3)\dots (m-x_n)$. Après simplification on obtient une factorisation de $2$ sous la forme de plus de trois entiers distincts, c'est impossible.

@Cidrolin : joli (tu)