Équation complexe

MERRi
MERRi
dans Algèbre
Bonjour,
j'ai du mal à résoudre une équation complexe.
z^2 + 2z(barre) + 4 = 0.
On pose z = x + iy et z(barre) = x - iy
Cela nous donne :
(x + iy)^2 +2(x - iy) = -4 <=> (x^2 - y^2) + 2ixy + 2x +2iy = -4

À partir de là je n'arrive pas à continuer. Pouvez-vous m'aider svp

Réponses

  • melpomène
    melpomène
    Ben maintenant, tu identifies partie réelle et partie imaginaire...
  • MERRi
    MERRi
    Et qu'est ce que ça veut dire ?
  • melpomène
    melpomène
    A quelles conditions deux nombres complexes sont-ils égaux ?
  • MERRi
    MERRi
    J'ai pu mettre i en facteur :

    (x^2 - y^2) + 2ixy + 2x +2iy = -4 <=> x^2 - y^2) + i ( 2xy + 2y) + x = -2

    mais là j'ai un +x qui se balade et je sais pas quoi en faire
  • melpomène
    melpomène
    Je repose ma question: à quelles conditions deux nombres complexes sont-ils égaux?
  • MERRi
    MERRi
    Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires respectives sont égales.
    Je vais donc me retrouver avec un système ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui.
  • MERRi
    MERRi
    Ok mais comment je l'obtiens ce système ?
  • Poirot
    Poirot
    Si je réécris l'équation $$x^2 - y^2 + i ( 2xy + 2y) + x = -2+i \times 0$$ est-ce que c'est plus clair ?
  • melpomène
    melpomène
    MERRi a écrit:
    Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires respectives sont égales.

    Tu as donné toi-même la réponse. Franchement, tu ne fais pas beaucoup d'efforts.
  • JLT
    JLT
    MERRi a écrit:
    (x^2 - y^2) + 2ixy + 2x +2iy = -4 <=> x^2 - y^2) + i ( 2xy + 2y) + x = -2

    Cette équivalence est fausse.
  • MERRi
    MERRi
    où est l'erreur svp ? Ca fait une heure que je suis dessus
  • MERRi
    MERRi
    Oui c'est très clair merci ! Maintenant c'est l'écriture du membre gauche de l'équation sous forme Re(z) + Im(z) = -4 que j'arrive pas...
  • gerard0
    gerard0
    Poirot t'a donné l'idée en reprenant ton équation fausse avec -2 au second membre.

    Je trouve que tu manques un peu de bon sens, avec ce x qui se ballade tout seul depuis le début, alors que tu connais (?? Comprends-tu vraiment de quoi on parle ?) la forme algébrique de l'écriture d'un complexe. Sais-tu ce qu'est ce x que tu as défini dans "On pose z = x + iy" ?? C'est quoi, x ? et y ?

    Donc reprends : Quelle est la partie entière de (x^2 - y^2) + 2ixy + 2x +2iy ? sa partie imaginaire ? Quelle est la partie entière de -4 ? sa partie imaginaire ?

    Cordialement.
  • MERRi
    MERRi
    Je comprends pas où tu veux en venir, parce que je sais bien ce que c'est ce x et ce y; je vois bien qu'il faut que l'on factorise l'expression donnée pour avoir un système où partie réelle et imaginaire sont respectivement deux lignes différentes. J'ai juste du mal à y arriver !

    Si z' était un complexe tel que : z' = (x^2 - y^2) + 2ixy + 2x +2iy,

    je dirai que sa partie réelle serait : Re(z') = (x^2 - y^2) + 2x

    et sa partie imaginaire : Im(z') = 2ixy +2iy


    Soit z'' le complexe tel que z'' = -4, alors sa partie réelle est telle que : Re(z'') = -4 et sa partie imaginaire : Im(z'') = 0 puisqu'on a z'' = 4 + i*0
  • gerard0
    gerard0
    Pas vraiment : La partie imaginaire est le réel qui est multiplié par i , et que tu avais bien fait apparaître précédemment.

    Comme z' est le nombre complexe -4, de partie réelle ... et de partie imaginaire ... alors
    (x^2 - y^2) + 2x = ...
    2xy+2y = ...
  • MERRi
    MERRi
    ...je continue :

    (x^2 - y^2) + 2x = -4
    2xy+2y = 0

    c'est bien ça ?
  • gerard0
    gerard0
    Si c'est l'application des règles du cours, ça ne peut pas être faux. Continue, tu n'es pas obligé de demander à chaque fois que tu as fait quelque chose.
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