Base d'un sous-espace vectoriel
Salut à tous,
Donner une base et en déduire la dimension du sous-espace vectoriel suivant : $$
V=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y-2z=0\}.
$$ Pour cela, soit $(x,y,z)\in V$ alors $x-y-2z=0$ donc $(x,y,z)=(y+2z,y,z)=(y,y,0)+(2z,0,z)=y(1,1,0)+z(2,0,1),\ y,z\in \mathbb R$.
Donc $(x,y,z)\in V$ si et seulement si $\exists \alpha, \beta \in \mathbb R, \ (x,y,z)=\alpha (1,1,0)+\beta (2,0,1)$, ceci implique que $$V=Vect\{u_1, u_2\}$$ avec $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=(2,0,1)$.
À cette étape, est-ce qu'on peut conclure que $\{u_1, u_2\}$ forme une base de $V$ ou je dois montrer que cette famille est libre pour conclure ?
Merci d'avance.
Donner une base et en déduire la dimension du sous-espace vectoriel suivant : $$
V=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y-2z=0\}.
$$ Pour cela, soit $(x,y,z)\in V$ alors $x-y-2z=0$ donc $(x,y,z)=(y+2z,y,z)=(y,y,0)+(2z,0,z)=y(1,1,0)+z(2,0,1),\ y,z\in \mathbb R$.
Donc $(x,y,z)\in V$ si et seulement si $\exists \alpha, \beta \in \mathbb R, \ (x,y,z)=\alpha (1,1,0)+\beta (2,0,1)$, ceci implique que $$V=Vect\{u_1, u_2\}$$ avec $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=(2,0,1)$.
À cette étape, est-ce qu'on peut conclure que $\{u_1, u_2\}$ forme une base de $V$ ou je dois montrer que cette famille est libre pour conclure ?
Merci d'avance.
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Réponses
Tu dois effectivement montrer que $(u_1,u_2)$ est libre, sinon ce n'est qu'une famille génératrice. Tu peux le faire via des calculs ou via un raisonnement abstrait, car tu connais a priori la dimension de $V$ grâce à des principes généraux