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Permutation d'un ensemble de complexes

Envoyé par pivot 
Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Bonjour,
Je suis actuellement sur un exercice en apparence "simple" sur les nombres complexes. La question est la suivante: qcomplexée les parties finies $A$ de $\mathbb{C}$ de cardinal $n \geq 2$ telles que l'application $f(z)=z^2$ induise une permutation de $A$?
J'ai montré que ces complexes doivent être de module 1, et je me doute bien qu'il va y avoir une histoire de racines de l'unité, mais je n'arrive pas à voir le résultat qu'il faut démontrer, et encore moins la démonstration qu'il va falloir mettre en place.
Merci d'avance pour votre aide!
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Il y a un problème au début de ta question qui la rend difficilement compréhensible, mais j'imagine que celle-ci demande les parties finies de $\mathbb C$ telles que l'application carrée en soit une permutation.

Tu peux montrer mieux que les éléments de $A$ sont de module $1$, il est facile de voir qu'il doit s'agir de racines de l'unité d'ordre une puissance de $2$. Comme une racine $2^k$-ième de l'unité est également racine $2^{k+1}$-ième de l'unité, tu peux chercher à montrer que $A$ est l'ensemble des racines $2^r$-ième de l'unité, pour un certain $r \geq 1$. Réciproquement, ces ensembles font bien l'affaire.

EDIT : faux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Poirot.
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Il vaudrait mieux s'intéresser aux parties finies de $\C^*$ car on peut toujours leur rajouter $0$...

Cordialement, j__j
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
@ Poirot Il doit y avoir plus que les racines $2^r$-ièmes de l'unité. En effet, l'ensemble $\{j,j^2\}$ convient ($j$ étant une racine troisième de 1).
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Zut, j'ai pensé bêtement qu'en itérant la permutation on devait retomber sur $1$ à un moment.
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Soit $n$ le nombre d'éléments de $A$, et soit $A_{i,\ i=1,\ldots, n}$ les arguments de nos éléments.
Si $n = 2 $, alors $A_2 = 2A_1$ et $A_1 = 2A_2 \pmod{ 2\pi}$ et on arrive à la réponse déjà évoquées $\{ 2\pi/3 ; 4\pi/3\}$.
Si $n=3$, alors $A_2 = 2A_1 ,\ A_3 = 2A_2 ,\ A_1=2A_3 \pmod{ 2\pi}$
Donc $A_1 = 8A_1$, ce qui donne $7A_1 = 2\pi$, et donc, notre triplet est : $\{ 2\pi/7 ; 4\pi/7, 8\pi/7\}$ ; dans ma démarche, j'ai trouvé une 2ème solution : $\{4\pi/7 , 8\pi/7, 16\pi/7\}$, mais en fait, c'est la même solution.

On voit se dessiner une logique.
Pour $n$ quelconque, les solutions seraient les nombres de modulo 1 et d'argument $2^i\pi / k$ avec $i$ variant de $1$ à $n$, et $k = 2^n-1$.

Montrer que les ensembles ainsi définis sont des solutions, ça semble simple. Montrer que pour $n$ donné, il y a une seule solution, ça paraît un peu plus compliqué.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Poirot : bah c'est pas le cas mais presque : si $z\in A$, $z^{2^n} = z^{2^m}$ pour certains $n\neq m$, et donc $z$ est une racine $2^m-2^n$-ième de l'unité. Inversement, si c'en est une...

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Du coup, quelles sont les solutions?
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
@Maxtimax : bien vu winking smiley
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
En fait on peut aussi le rédiger (et c'est plus efficace) en termes d'actions de groupes : $z\mapsto z^2$ est une permutation de $A$, donc $A$ est muni d'une action de $\Z=\langle x\rangle $ via $x\cdot z = z^2$. Alors $A$ se décompose en orbites, toutes isomorphes à $\Z/n\Z$ pour un certain $n\geq 1$ (car $A$ est fini). Mais être isomorphe à $\Z/n\Z$ ça veut dire être de la forme $\{z^{2^k}, k\in \{0,...,n-1\}\}$ avec $z^{2^n} = z$, donc en fait c'est même mieux : $z$ est une racine $2^n-1$-ième de l'unité.

Inversement, pour toute famille finie $(z_i)$ de racines de l'unité, à chaque fois racine $2^n-1$-ièmes pour un certain $n$, alors $\{z_i^{2^k}, i\in I, k\in \Z\}$ est un ensemble fini et $^2$ en induit bien une permutation.

A noter que la question ne peut plus se régler par action de groupes si on remplace dans l'énoncé "induise une permutation de $A$" par "envoie $A$ dans $A$". Dans ce cas là il faut gérer la non injectivité de $(-)^2$ et faire plus à la main, comme je l'ai expliqué plus haut avec les racines $2^n-2^m$-ièmes. On peut bien sûr utiliser nos connaissances générales de représentations de monoïdes, si on en a (la situation ici ne sera a priori pas beaucoup plus particulière que l'étude des actions transitives finies de $\N$)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Désolé je ne connais pas les actions de groupes (je suis en PC et on n'a pas ça à notre programme). Comment cette explication se traduit-elle (sans utiliser le terme "action de groupes")?
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
Rassure-toi, les MP n'ont pas non plus d'action de groupes à leur programme grinning smiley (pas officiellement en tout cas)
Mais ce n'est pas grave ici c'est une version relativement simple de cette affaire. Partons d'un élément $z\in A$. Alors $z^{2^n}= z^{2^m}$ pour un $n\neq m$ (principe des tiroirs). Sauf que $(-)^2$ est une permutation de $A$, donc je peux faire mieux que diviser par $z$, je peux retirer des puissances de $2$ : si par exemple $n>m$ j'obtiens $z^{2^{n-m}} = z$ : avec $k=n-m,$ $z$ est donc une racine $2^k-1$-ième de l'unité (ou $0$ mais on s'en fiche de $0$). Ainsi les carrés successifs de $z$ c'est $1,z,\ldots, z^{2^{k-1}}$ puis on boucle sur $1$ : cette petite collection est stable par $(-)^2$, et $(-)^2$ est bien une permutation (le cycle $(1\cdots k)$). Tu recommences avec tous les $z\in A$ (en fait tu as besoin de moins) et tu obtiens la description que j'ai donnée.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Permutation d'un ensemble de complexes
il y a quatre mois
D'accord merci beaucoup! C'est plus clair!
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