Permutation d'un ensemble de complexes
Bonjour,
Je suis actuellement sur un exercice en apparence "simple" sur les nombres complexes. La question est la suivante: qcomplexée les parties finies $A$ de $\mathbb{C}$ de cardinal $n \geq 2$ telles que l'application $f(z)=z^2$ induise une permutation de $A$?
J'ai montré que ces complexes doivent être de module 1, et je me doute bien qu'il va y avoir une histoire de racines de l'unité, mais je n'arrive pas à voir le résultat qu'il faut démontrer, et encore moins la démonstration qu'il va falloir mettre en place.
Merci d'avance pour votre aide!
Je suis actuellement sur un exercice en apparence "simple" sur les nombres complexes. La question est la suivante: qcomplexée les parties finies $A$ de $\mathbb{C}$ de cardinal $n \geq 2$ telles que l'application $f(z)=z^2$ induise une permutation de $A$?
J'ai montré que ces complexes doivent être de module 1, et je me doute bien qu'il va y avoir une histoire de racines de l'unité, mais je n'arrive pas à voir le résultat qu'il faut démontrer, et encore moins la démonstration qu'il va falloir mettre en place.
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Réponses
Tu peux montrer mieux que les éléments de $A$ sont de module $1$, il est facile de voir qu'il doit s'agir de racines de l'unité d'ordre une puissance de $2$. Comme une racine $2^k$-ième de l'unité est également racine $2^{k+1}$-ième de l'unité, tu peux chercher à montrer que $A$ est l'ensemble des racines $2^r$-ième de l'unité, pour un certain $r \geq 1$. Réciproquement, ces ensembles font bien l'affaire.
EDIT : faux.
Cordialement, j__j
Si $n = 2 $, alors $A_2 = 2A_1$ et $A_1 = 2A_2 \pmod{ 2\pi}$ et on arrive à la réponse déjà évoquées $\{ 2\pi/3 ; 4\pi/3\}$.
Si $n=3$, alors $A_2 = 2A_1 ,\ A_3 = 2A_2 ,\ A_1=2A_3 \pmod{ 2\pi}$
Donc $A_1 = 8A_1$, ce qui donne $7A_1 = 2\pi$, et donc, notre triplet est : $\{ 2\pi/7 ; 4\pi/7, 8\pi/7\}$ ; dans ma démarche, j'ai trouvé une 2ème solution : $\{4\pi/7 , 8\pi/7, 16\pi/7\}$, mais en fait, c'est la même solution.
On voit se dessiner une logique.
Pour $n$ quelconque, les solutions seraient les nombres de modulo 1 et d'argument $2^i\pi / k$ avec $i$ variant de $1$ à $n$, et $k = 2^n-1$.
Montrer que les ensembles ainsi définis sont des solutions, ça semble simple. Montrer que pour $n$ donné, il y a une seule solution, ça paraît un peu plus compliqué.
Inversement, pour toute famille finie $(z_i)$ de racines de l'unité, à chaque fois racine $2^n-1$-ièmes pour un certain $n$, alors $\{z_i^{2^k}, i\in I, k\in \Z\}$ est un ensemble fini et $^2$ en induit bien une permutation.
A noter que la question ne peut plus se régler par action de groupes si on remplace dans l'énoncé "induise une permutation de $A$" par "envoie $A$ dans $A$". Dans ce cas là il faut gérer la non injectivité de $(-)^2$ et faire plus à la main, comme je l'ai expliqué plus haut avec les racines $2^n-2^m$-ièmes. On peut bien sûr utiliser nos connaissances générales de représentations de monoïdes, si on en a (la situation ici ne sera a priori pas beaucoup plus particulière que l'étude des actions transitives finies de $\N$)
Mais ce n'est pas grave ici c'est une version relativement simple de cette affaire. Partons d'un élément $z\in A$. Alors $z^{2^n}= z^{2^m}$ pour un $n\neq m$ (principe des tiroirs). Sauf que $(-)^2$ est une permutation de $A$, donc je peux faire mieux que diviser par $z$, je peux retirer des puissances de $2$ : si par exemple $n>m$ j'obtiens $z^{2^{n-m}} = z$ : avec $k=n-m,$ $z$ est donc une racine $2^k-1$-ième de l'unité (ou $0$ mais on s'en fiche de $0$). Ainsi les carrés successifs de $z$ c'est $1,z,\ldots, z^{2^{k-1}}$ puis on boucle sur $1$ : cette petite collection est stable par $(-)^2$, et $(-)^2$ est bien une permutation (le cycle $(1\cdots k)$). Tu recommences avec tous les $z\in A$ (en fait tu as besoin de moins) et tu obtiens la description que j'ai donnée.