Problème d'angles

Ratwez
Ratwez
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Je cherche à trouver pour quelles valeurs de $x$, on a $\alpha = \beta + \gamma$.

J'ai essayé avec les nombre complexes et les arguments mais je n'ai abouti à rien.

Quelqu'un a-t-il une autre idée ?85542

Réponses

  • marsup
    marsup
    Les angles sont des arccotan, soit pi/2 - cotan.

    Par étude de fonction, on voit qu'il y a une solution et une seule, et on peut tenter sa chance avec des x pour la trouver (ne pas chercher compliqué !)
  • Dom
    Dom
    Le digestif a été fort...et je ne peux garantir mes élucubrations...
    J'ai juste fait de la trigonométrie de collège.
    Utilisé $\arccos$ puis $\sin(\arccos(u))=\sqrt{1-u^2}$ pour les bons $u$. (inutile en fait !)

    Je trouve deux solutions (mais faut-il en exclure ?) avec une équation de degré 4 qui revient au degré 2 :

    $\sqrt{\dfrac{25-\sqrt{533}}{46}}\approx 0,042$ et $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{533}}{46}}\approx 1,045$ (c'est complètement faux !)

    A prendre avec des pincettes (comme les glaçons !)

    Qui tente une fichier GeoGebra pour voir la cohérence ?

    Edit : Ha ! marsup parle d'unicité...
    Il existe évidemment la solution nulle...
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu dois savoir évaluer $\tan\alpha$, $\tan\beta$ et $\tan\gamma$ en fonction de $x$. Une condition nécessaire pour que $\alpha=\beta+\gamma$, c'est que $\tan\alpha=\tan(\beta+\gamma)$. Or tu sais calculer $\tan(\beta+\gamma)$ en fonction de $\tan\beta$ et $\tan\gamma$, n'est-ce pas ? (Si tu ne sais pas, il faut le retrouver à partir des formules d'addition du cosinus et du sinus.) Cela te donne de fortes contraintes sur $x$.
  • marsup
    marsup
    http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Arctg.htm#euler
    https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente#Formule_remarquable
  • Math Coss
    Math Coss
    Chacun est censé savoir que \begin{align*}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\g}{\gamma}
    \cos(\b+\g)&=\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g\\
    \sin(\b+\g)&=\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g.\end{align*} On en déduit, si $\cos\b\cos\g\ne0$ : \[\tan(\b+\g)=
    \frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}=
    \frac{\frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}{\frac{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}=\frac{\tan\b+\tan\g}{1-\tan\b\tan\g}.\]En remplaçant $\tan\alpha$, $\tan\b$ et $\tan\g$ par leurs valeurs en fonction de $x$, on tombe sur une équation algébrique très simple en $x$.
  • Dom
    Dom
    Bon, il faut se rendre à l'évidence, j'ai dit plusieurs bêtises.
    Sauf la méthode qui fonctionne.

    Je ne trouve qu'une seule solution aussi. C'est un nombre entier pas très grand.
  • Ratwez
    Ratwez
    Merci pour toutes vos réponses.
    J'ai réussi à trouver une réponse avec les arguments. $$

    \alpha = \beta + \gamma \Leftrightarrow (\cos \alpha = \cos(\beta + \gamma))\land(\sin \alpha = \sin(\beta + \gamma))

    $$ Avec les formules d'addition du sinus je trouve : $$
    \sin(\beta + \gamma) = \sin(\beta)\cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cos(\beta)

    $$ En prenant le point en bas à gauche comme origine du repère j'ai : $$
    \alpha = \arg(x+i), \beta = \arg(2x+i) \text{ et } \gamma = \arg(3x+i).

    $$ Ce qui me donne : $$
    \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \cos \beta = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}, \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}, \cos \gamma = \frac{3x}{\sqrt{9x^2+1}} \text{ et } \sin \gamma = \frac{3x}{\sqrt{9x^2+1}}

    $$ En remplaçant dans l'équation je trouve deux solutions $x_1 = \frac{\sqrt{11}}{11}, x_2 = 1$.

    Je répète le même procédé pour le cosinus et je trouve de nouveau deux solutions $x_1 = -\frac{\sqrt{11}}{11}, x_2 = 1$.

    La seule solution qui coïncide est $x=1$. Il n'existe donc qu'une valeur de $x$ telle que $\alpha = \beta + \gamma$ et c'est $1$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Cela doit être correct, avec des discussions sur les signes que tu passes sous silence. (Ça m'a l'air un zeste plus facile avec les tangentes car il n'y a pas de racines carrées.)
  • Dom
    Dom
    C'était bien mon raisonnement d'aujourd'hui, avec les idées claires.
    En effet, je n'ai pas regardé les tangentes...
  • Ratwez
    Ratwez
    @Math Coss Oui effectivement ça a l'air plus simple avec les tangentes mais je me sens pas trop à l'aise avec.
    Au fait, quels sont les signes passés sous silence ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Est-il possible de généraliser le calcul à n'importe quel nombres de rectangles ?

    Pour $n$ rectangles et $n>1$, quels sont les valeurs de $x$ tel que : $$
    \alpha = \sum_{i=1}^{n-1} \theta_i

    $$ Dans le cas précédent on avait : $$
    \alpha = \sum_{i=1}^{2} \theta_i = \theta_1 + \theta_2 \text{ avec } \theta_1 = \beta \text{ et } \theta_2=\gamma$$
  • Dom
    Dom
    @Ratwez
    Quand tu "remplaces dans l'équations", n'obtiens-tu pas une équation de degré 4 ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Oui pour me débarasser des racines j'élève au carré des deux côtés ce qui fait que je me retrouve avec une équation de degré 4. J'ai donc quatre solutions mais seules deux vérifient l'équation de départ.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tes équations sont de degré $4$ mais au moins l'une des deux est de degré $2$ en $x^2$ (je n'ai pas calculé l'autre complètement). Il y a une hypothèse implicite que $x>0$ dès le départ, voilà, des raisons d'écarter certaines solutions, ce genre de choses.
  • marsup
    marsup
    Si tu veux, tu peux t'amuser à vérifier

    $\arctan(1) = 4\arctan\big(\frac{1}{5}\big) - \arctan\big(\frac{1}{239}\big)$,

    et ensuite inventer une machine à remonter le temps pour aller aider John Machin en 1706 à calculer les 100 premières décimales de $\pi$.
  • Ratwez
    Ratwez
    Je ne comprends pas ton message marsup. Pourquoi me parles-tu de ça ?
  • marsup
    marsup
    Tu parlais de généraliser ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Oui
  • Dom
    Dom
    [small]@Ratwez
    Ok, moi je trouvais quatre solutions : $1$ ; $-1$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ et $\dfrac{-1}{\sqrt{11}}$.
    En effet, on écarte les solutions négatives ($x$ représente une longueur).
    Puis en essayant $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$, on obtient $\cos (\beta + \gamma)$ négatif ce qui est exclu car l'angle $\alpha$ est entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$.
    Il ne reste que $1$.[/small]
  • Ratwez
    Ratwez
    @Dom
    J'avais la même chose mais je n'ai pas parlé de $-1$ et $-\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour $\sin \alpha = \sin(\beta + \gamma)$ car ils n'étaient pas solutions de cet équation. Je perds l'équivalence en élevant au carré.
    Pour $\cos \alpha = \cos(\beta + \gamma)$, je n'ai pas parlé de $-1$ et $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour la même raison.
    Comme la seule solution commune des deux éqautions est $1$, j'en conclus que c'est la seule solution.
  • Ratwez
    Ratwez
    Par rapport au cas général dont je parlais juste avant.

    Pour $n = 2$, il est facile de montrer qu'il n'y a qu'une solution et que c'est la solution nulle.

    Pour $n>3$, il semblerait qu'il n'y est aucune solution mais je ne parviens pas à le démontrer.
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