Par étude de fonction, on voit qu'il y a une solution et une seule, et on peut tenter sa chance avec des x pour la trouver (ne pas chercher compliqué !)
Le digestif a été fort...et je ne peux garantir mes élucubrations...
J'ai juste fait de la trigonométrie de collège.
Utilisé $\arccos$ puis $\sin(\arccos(u))=\sqrt{1-u^2}$ pour les bons $u$. (inutile en fait !)
Je trouve deux solutions (mais faut-il en exclure ?) avec une équation de degré 4 qui revient au degré 2 :
$\sqrt{\dfrac{25-\sqrt{533}}{46}}\approx 0,042$ et $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{533}}{46}}\approx 1,045$ (c'est complètement faux !)
A prendre avec des pincettes (comme les glaçons !)
Qui tente une fichier GeoGebra pour voir la cohérence ?
Edit : Ha ! marsup parle d'unicité... Il existe évidemment la solution nulle...
Tu dois savoir évaluer $\tan\alpha$, $\tan\beta$ et $\tan\gamma$ en fonction de $x$. Une condition nécessaire pour que $\alpha=\beta+\gamma$, c'est que $\tan\alpha=\tan(\beta+\gamma)$. Or tu sais calculer $\tan(\beta+\gamma)$ en fonction de $\tan\beta$ et $\tan\gamma$, n'est-ce pas ? (Si tu ne sais pas, il faut le retrouver à partir des formules d'addition du cosinus et du sinus.) Cela te donne de fortes contraintes sur $x$.
Chacun est censé savoir que \begin{align*}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\g}{\gamma}
\cos(\b+\g)&=\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g\\
\sin(\b+\g)&=\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g.\end{align*} On en déduit, si $\cos\b\cos\g\ne0$ : \[\tan(\b+\g)=
\frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}=
\frac{\frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}{\frac{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}=\frac{\tan\b+\tan\g}{1-\tan\b\tan\g}.\]En remplaçant $\tan\alpha$, $\tan\b$ et $\tan\g$ par leurs valeurs en fonction de $x$, on tombe sur une équation algébrique très simple en $x$.
Cela doit être correct, avec des discussions sur les signes que tu passes sous silence. (Ça m'a l'air un zeste plus facile avec les tangentes car il n'y a pas de racines carrées.)
@Math Coss Oui effectivement ça a l'air plus simple avec les tangentes mais je me sens pas trop à l'aise avec.
Au fait, quels sont les signes passés sous silence ?
Est-il possible de généraliser le calcul à n'importe quel nombres de rectangles ?
Pour $n$ rectangles et $n>1$, quels sont les valeurs de $x$ tel que : $$
\alpha = \sum_{i=1}^{n-1} \theta_i
$$ Dans le cas précédent on avait : $$
\alpha = \sum_{i=1}^{2} \theta_i = \theta_1 + \theta_2 \text{ avec } \theta_1 = \beta \text{ et } \theta_2=\gamma$$
Oui pour me débarasser des racines j'élève au carré des deux côtés ce qui fait que je me retrouve avec une équation de degré 4. J'ai donc quatre solutions mais seules deux vérifient l'équation de départ.
Tes équations sont de degré $4$ mais au moins l'une des deux est de degré $2$ en $x^2$ (je n'ai pas calculé l'autre complètement). Il y a une hypothèse implicite que $x>0$ dès le départ, voilà, des raisons d'écarter certaines solutions, ce genre de choses.
[small]@Ratwez
Ok, moi je trouvais quatre solutions : $1$ ; $-1$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ et $\dfrac{-1}{\sqrt{11}}$.
En effet, on écarte les solutions négatives ($x$ représente une longueur).
Puis en essayant $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$, on obtient $\cos (\beta + \gamma)$ négatif ce qui est exclu car l'angle $\alpha$ est entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$.
Il ne reste que $1$.[/small]
@Dom
J'avais la même chose mais je n'ai pas parlé de $-1$ et $-\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour $\sin \alpha = \sin(\beta + \gamma)$ car ils n'étaient pas solutions de cet équation. Je perds l'équivalence en élevant au carré.
Pour $\cos \alpha = \cos(\beta + \gamma)$, je n'ai pas parlé de $-1$ et $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour la même raison.
Comme la seule solution commune des deux éqautions est $1$, j'en conclus que c'est la seule solution.
Réponses
Par étude de fonction, on voit qu'il y a une solution et une seule, et on peut tenter sa chance avec des x pour la trouver (ne pas chercher compliqué !)
J'ai juste fait de la trigonométrie de collège.
Utilisé $\arccos$ puis $\sin(\arccos(u))=\sqrt{1-u^2}$ pour les bons $u$. (inutile en fait !)
Je trouve deux solutions (mais faut-il en exclure ?) avec une équation de degré 4 qui revient au degré 2 :
$\sqrt{\dfrac{25-\sqrt{533}}{46}}\approx 0,042$ et $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{533}}{46}}\approx 1,045$ (c'est complètement faux !)
A prendre avec des pincettes (comme les glaçons !)
Qui tente une fichier GeoGebra pour voir la cohérence ?
Edit : Ha ! marsup parle d'unicité...
Il existe évidemment la solution nulle...
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente#Formule_remarquable
\cos(\b+\g)&=\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g\\
\sin(\b+\g)&=\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g.\end{align*} On en déduit, si $\cos\b\cos\g\ne0$ : \[\tan(\b+\g)=
\frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}=
\frac{\frac{\sin\b\cos\g+\cos\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}{\frac{\cos\b\cos\g-\sin\b\sin\g}{\cos\b\cos\g}}=\frac{\tan\b+\tan\g}{1-\tan\b\tan\g}.\]En remplaçant $\tan\alpha$, $\tan\b$ et $\tan\g$ par leurs valeurs en fonction de $x$, on tombe sur une équation algébrique très simple en $x$.
Sauf la méthode qui fonctionne.
Je ne trouve qu'une seule solution aussi. C'est un nombre entier pas très grand.
J'ai réussi à trouver une réponse avec les arguments. $$
\alpha = \beta + \gamma \Leftrightarrow (\cos \alpha = \cos(\beta + \gamma))\land(\sin \alpha = \sin(\beta + \gamma))
$$ Avec les formules d'addition du sinus je trouve : $$
\sin(\beta + \gamma) = \sin(\beta)\cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cos(\beta)
$$ En prenant le point en bas à gauche comme origine du repère j'ai : $$
\alpha = \arg(x+i), \beta = \arg(2x+i) \text{ et } \gamma = \arg(3x+i).
$$ Ce qui me donne : $$
\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \cos \beta = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}, \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}, \cos \gamma = \frac{3x}{\sqrt{9x^2+1}} \text{ et } \sin \gamma = \frac{3x}{\sqrt{9x^2+1}}
$$ En remplaçant dans l'équation je trouve deux solutions $x_1 = \frac{\sqrt{11}}{11}, x_2 = 1$.
Je répète le même procédé pour le cosinus et je trouve de nouveau deux solutions $x_1 = -\frac{\sqrt{11}}{11}, x_2 = 1$.
La seule solution qui coïncide est $x=1$. Il n'existe donc qu'une valeur de $x$ telle que $\alpha = \beta + \gamma$ et c'est $1$.
En effet, je n'ai pas regardé les tangentes...
Au fait, quels sont les signes passés sous silence ?
Pour $n$ rectangles et $n>1$, quels sont les valeurs de $x$ tel que : $$
\alpha = \sum_{i=1}^{n-1} \theta_i
$$ Dans le cas précédent on avait : $$
\alpha = \sum_{i=1}^{2} \theta_i = \theta_1 + \theta_2 \text{ avec } \theta_1 = \beta \text{ et } \theta_2=\gamma$$
Quand tu "remplaces dans l'équations", n'obtiens-tu pas une équation de degré 4 ?
$\arctan(1) = 4\arctan\big(\frac{1}{5}\big) - \arctan\big(\frac{1}{239}\big)$,
et ensuite inventer une machine à remonter le temps pour aller aider John Machin en 1706 à calculer les 100 premières décimales de $\pi$.
Ok, moi je trouvais quatre solutions : $1$ ; $-1$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ et $\dfrac{-1}{\sqrt{11}}$.
En effet, on écarte les solutions négatives ($x$ représente une longueur).
Puis en essayant $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$, on obtient $\cos (\beta + \gamma)$ négatif ce qui est exclu car l'angle $\alpha$ est entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$.
Il ne reste que $1$.[/small]
J'avais la même chose mais je n'ai pas parlé de $-1$ et $-\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour $\sin \alpha = \sin(\beta + \gamma)$ car ils n'étaient pas solutions de cet équation. Je perds l'équivalence en élevant au carré.
Pour $\cos \alpha = \cos(\beta + \gamma)$, je n'ai pas parlé de $-1$ et $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ pour la même raison.
Comme la seule solution commune des deux éqautions est $1$, j'en conclus que c'est la seule solution.
Pour $n = 2$, il est facile de montrer qu'il n'y a qu'une solution et que c'est la solution nulle.
Pour $n>3$, il semblerait qu'il n'y est aucune solution mais je ne parviens pas à le démontrer.